対称式・交代式の因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は惜しい形だ。まん中が $2x^2{y}^2$ なら完全平方 $(x^2+y^2{)}^2$ になる。

そこで足して引く調整で、平方の差を作りにいく。

(2)は交代式だ。展開して押し切らず、$1$ つの文字について整理する原則に立ち返れば、共通因数が自然に見えてくる。

(1) $x^4+x^2{y}^2+y^4$ は、まん中を $2x^2{y}^2$ にすると $(x^2+y^2{)}^2=x^4+2x^2{y}^2+y^4$ が作れる。だから2乗を作って、増やした分($x^2{y}^2$)を引く。

$$\begin{array}{rl}{x}^4+x^2{y}^2+y^4& =(x^4+2x^2{y}^2+y^4)-x^2{y}^2\\ & =(x^2+y^2{)}^2-(xy{)}^2\end{array}$$

2乗 − 2乗の形になったので、和と差のかけ算を使う。

$$(x^2+y^2{)}^2-(xy{)}^2=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$$

(2) $a$ について整理する。まず展開して $a$ でまとめる。

$$\begin{array}{rl}{a}^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)& =a^{2}b-a^{2}c+b^{2}c-a{b}^2+c^{2}a-b{c}^2\\ & =(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+(b^{2}c-b{c}^2)\\ & =(b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)\end{array}$$

どの項にも共通の $(b-c)$ がある。くくって

$$(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}$$

カッコの中は、かけて $bc$・たして $b+c$ の2数が $b$ と $c$ なので

$$a^2-(b+c)a+bc=(a-b)(a-c)$$

まとめて

$$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=(b-c)(a-b)(a-c)$$

答えの形をそろえると(符号を整理して)

$$(b-c)(a-b)(a-c)=-(a-b)(b-c)(c-a)$$

まとめ:とも書ける。交代式は『1文字で整理 → 共通因数 → 残りを分解』できれいな積になる。

発展 — 一歩先へ。 (1)の $2$ つの因数 $x^2+xy+y^2$ と $x^2-xy+y^2$ は、$(x,y)\ne (0,0)$ でありさえすれば、どちらも必ず正になる。実際 $x^2+xy+y^2={\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{y}^2$ で、これが $0$ になるのは $x+\frac{y}{2}=0$ かつ $y=0$、つまり $x=y=0$ のときだけだ。

だから $x^4+x^2{y}^2+y^4$ は、$(x,y)\ne (0,0)$ ではつねに正。正の因子 $2$ つの積だからだ。$y=1$ とおけば $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ という見なれた形になる。

「$2$ 乗の和に近い式を、正の因子の積に開く」見方は、不等式の証明や最小値の議論でも効いてくる。

別解

別解 — 因数の形を仮定して係数を合わせる(得意な人向けの系統的ルート)。 (1)は平方の差を思いつかなくても、答えの形を仮定して押し切れる。

$x^4+x^2{y}^2+y^4$ は $x$ と $y$ を入れかえても変わらず($x,y$ について対称)、各項の次数はそろって $4$ 次だ。そこで

$$x^4+x^2{y}^2+y^4=(x^2+axy+y^2)(x^2+bxy+y^2)$$

と仮定して展開する。$x^{3}y$ の係数は $a+b$、$x^2{y}^2$ の係数は $2+ab$ になる。もとの式と見比べて $a+b=0$、$2+ab=1$。

これを解くと $ab=-1$、$a+b=0$ より $a=-1$、$b=1$。よって $(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$。平方の差を作る本解と同じ答えに、形の仮定から着く。