確率 — 独立試行・条件付き確率・期待値

大小2個のサイコロを同時に投げる。

(1) 出た目の和が 7 になる確率を求めよ。

(2) 出た目の積が偶数になる確率を求めよ。

赤玉4個、白玉3個が入った袋から、同時に2個の玉を取り出す。

(1) 2個とも赤玉である確率を求めよ。

(2) 赤玉と白玉が1個ずつである確率を求めよ。

1 から 10 までの番号が書かれた10枚のカードから1枚を引く。

(1) 偶数または3の倍数のカードを引く確率を求めよ。

(2) 3 以下または 8 以上のカードを引く確率を求めよ。

1個のサイコロを3回投げる。少なくとも1回は6の目が出る確率を求めよ。

1 から 9 までの番号が書かれた9枚のカードから、同時に3枚を選ぶ。

(1) 3枚とも奇数である確率を求めよ。

(2) 少なくとも1枚は偶数である確率を求めよ。

当たりくじを引く確率が $\frac{1}{4}$ の袋 A と、当たりくじを引く確率が $\frac{1}{3}$ の袋 B がある。A, B からそれぞれ1本ずつくじを引く。

(1) 両方とも当たる確率を求めよ。

(2) 少なくとも一方が当たる確率を求めよ。

1個のサイコロを4回投げる。1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

表と裏が等しい確率で出るコインを5回投げる。表がちょうど3回出る確率を求めよ。

あるクラス40人のうち、男子は24人で、そのうち自転車通学は18人である。女子16人のうち自転車通学は10人である。このクラスから1人を選んだところ、自転車通学の生徒だった。この生徒が男子である確率を求めよ。

当たりくじ3本、はずれくじ7本の合計10本のくじがある。A, B の2人がこの順に1本ずつ引く。引いたくじはもとに戻さない。

(1) A が当たる確率を求めよ。

(2) A も B も当たる確率を求めよ。

(3) B が当たる確率を求めよ。

10本のくじがあり、賞金は 300 円が1本、100 円が3本、残り6本は0円(はずれ)である。この中から1本を引くとき、受け取る賞金の期待値を求めよ。

数直線上の原点に点 P がある。コインを投げて、表が出れば P を正の向きに 1、裏が出れば負の向きに 1 だけ動かす。コインを4回投げたとき、P が原点にある確率を求めよ。

1個のサイコロを5回投げる。1の目が2回以上出る確率を求めよ。

1個のサイコロを繰り返し投げる。3回目に、ちょうど2度目の6の目が出る確率を求めよ。

赤玉5個、白玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ2回続けて取り出す。取り出した玉はもとに戻さない。

(1) 1回目が赤である確率を求めよ。

(2) 2回目が赤である確率を求めよ。

(3) 2回目が赤であったとき、1回目も赤であった条件付き確率を求めよ。

A は的に当てる確率が $\frac{2}{3}$、B は $\frac{1}{2}$ である。A, B が的に向かって1回ずつ矢を射る。

(1) 2人とも当てる確率を求めよ。

(2) 少なくとも1人が当てる確率を求めよ。

(3) ちょうど1人だけが当てる確率を求めよ。

1個のサイコロを10回投げる。1の目が出る回数を $X$ とするとき、確率 $P(X=k)$ が最大となる $k$ の値を求めよ。

3人が1回じゃんけんをする。グー・チョキ・パーは、それぞれ同じ確率 $\frac{1}{3}$ で出すものとする。

(1) あいこになる確率を求めよ。

(2) ちょうど1人だけが勝つ確率を求めよ。

数直線上の原点に点 P がある。コインを投げて、表なら正の向きに 1、裏なら負の向きに 1 だけ P を動かす。コインを6回投げたとき、P が原点にある確率を求めよ。

当たりくじ2本、はずれくじ4本の合計6本のくじを、A, B, C がこの順に1本ずつ引く。引いたくじはもとに戻さない。

(1) A が当たり、B がはずれる確率を求めよ。

(2) C が当たる確率を求めよ。

大小2個のサイコロを同時に投げ、出た目の和を得点とする。得点の期待値を求めよ。

次のゲームがある。参加料 300 円を払ってサイコロを1回投げ、出た目の数の 100 倍の金額(円)を受け取る。このゲームに参加することは、得か損か。受け取る金額の期待値を用いて判断せよ。

赤玉3個、白玉2個が入った袋から玉を1個取り出して色を見て、もとに戻す。この操作を3回繰り返す。赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

座標平面上の原点に点 P がある。コインを投げて、表なら P を右に 1(x 方向に +1)、裏なら上に 1(y 方向に +1)だけ動かす。コインを6回投げたとき、P が点 (4, 2) にある確率を求めよ。

ある製品は、機械 A で全体の 60%、機械 B で 40% が作られる。不良品の割合は、A の製品では 3%、B の製品では 5% である。製品を1個取り出したところ不良品であった。この製品が機械 A で作られたものである確率を求めよ。

1個のサイコロを3回投げる。6の目が少なくとも1回出たとき、6の目がちょうど1回だけ出た条件付き確率を求めよ。

2人がじゃんけんをして、勝負がつくまで繰り返す。あいこ(同じ手)のときは勝負がつかず、もう一度行う。

(1) ちょうど2回目で勝負がつく確率を求めよ。

(2) 勝負がつくまでにじゃんけんを行う回数の期待値を求めよ。

数直線上の原点に点 P がある。コインを投げて、表なら正の向きに 1、裏なら負の向きに 1 だけ P を動かす。コインを5回投げる。

(1) P が座標 3 の点にある確率を求めよ。

(2) P が正の側(座標が正)にある確率を求めよ。

大小2個のサイコロを同時に投げ、出た2つの目のうち大きいほう(同じ目のときはその値)を $M$ とする。$M$ の期待値を求めよ。

当たりくじ2本、はずれくじ3本の合計5本のくじがある。当たりを1本引くまで、1本ずつくじを引き続ける(引いたくじはもとに戻さない)。引く回数の期待値を求めよ。

3個のサイコロを同時に投げる。出た目の最大値がちょうど 4 である確率を求めよ。

1個のサイコロを、1の目が出るまで繰り返し投げる。投げる回数の期待値を求めよ。

何人かで $1$ 個ずつプレゼントを持ち寄り、全員に $1$ 個ずつ無作為に配り直す。

(1) $4$ 人のとき、誰も自分のプレゼントを受け取らない確率を求めよ。

(2) $5$ 人のとき、誰も自分のプレゼントを受け取らない確率を求めよ。

見た目が同じ $2$ つのつぼ A、B がある。A には赤玉 $3$ 個と白玉 $2$ 個、B には赤玉 $1$ 個と白玉 $4$ 個が入っている。$2$ つのつぼから無作為に $1$ つを選び、そのつぼから玉を $1$ 個取り出して色を見て戻す操作を $3$ 回行ったところ、結果は順に赤・赤・白であった。選んだつぼが A である確率を求めよ。

$n$ 本のくじの中に当たりが $a$ 本($1\leqq a\leqq n$)入っている。$n$ 人が順に $1$ 本ずつくじを引き、引いたくじは戻さない。$k$ 番目($1\leqq k\leqq n$)に引く人が当たりを引く確率は、$k$ によらず $\frac{a}{n}$ であることを示せ。

$3$ 人でじゃんけんをし、負けた人は抜けていく。勝者が $1$ 人に決まるまで繰り返す(あいこのときは人数そのままでもう一度行う)。$n$ を自然数とするとき、ちょうど $n$ 回目のじゃんけんで勝者が $1$ 人に決まる確率 $p_n$ を求めよ。

正八角形の $8$ 個の頂点から異なる $3$ 個を無作為に選び、三角形を作る。

(1) 直角三角形になる確率を求めよ。

(2) 鈍角三角形になる確率を求めよ。

$1$ から $9$ までの番号が $1$ つずつ書かれた $9$ 枚のカードから、同時に $3$ 枚を取り出す。取り出した $3$ 枚の番号の最大値を $X$、最小値を $Y$ とする。

(1) $X\leqq 7$ となる確率を求めよ。

(2) $X=7$ となる確率を求めよ。

(3) $X=7$ であったとき、$Y\geqq 3$ である条件付き確率を求めよ。

数直線上の原点に点 P がある。硬貨を投げて、表なら $+1$、裏なら $-1$ だけ P を動かす。硬貨を $6$ 回投げるとき、「P が $6$ 回後に原点に戻り、かつ途中で一度も負の位置に来ない」確率を求めよ。

$1$ 個のさいころを $4$ 回投げる。

(1) 出た目がすべて同じ($1$ 種類)である確率を求めよ。

(2) 出た目がちょうど $2$ 種類である確率を求めよ。

1個のサイコロを繰り返し振り、出た目を順に足していく。ある段階での和がちょうど $n$ になることがある確率を $p_n$ とする。$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$ を求めよ。

$n$ 枚の硬貨を同時に投げる。表が出た枚数が $3$ の倍数($0$ も含む)になる確率 $P_n$ を、$n$ を用いて表せ。

硬貨を $2n$ 回投げるとき、表がちょうど $n$ 回出る確率を $p_n$ とする。

(1) $p_n=\frac{1}{4^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ を確かめ、$p_n=\frac{2n-1}{2n}{p}_{n-1}$ を示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{p}_n$ を求めよ。

$1$ から $n$ までの番号札 $n$ 枚を無作為に一列に並べる($n\ge 2$)。左から $k$ 番目に番号 $k$ の札が来ることを「一致」とよび、一致の総数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めよ。

1回引くごとに4種類 $\{1,2,3,4\}$ のカードのどれか1枚が等確率 $\frac{1}{4}$ で出る(引いたカードは戻し、毎回独立)。4種類すべてがそろうまでに引く回数の期待値を求めよ。

持ち点 $k$($0<k<N$)から始める。1回ごとに確率 $\frac{1}{2}$ で持ち点が $1$ 増え、確率 $\frac{1}{2}$ で $1$ 減る。持ち点が $N$ になれば成功、$0$ になれば失敗として終了する。持ち点 $k$ から出発して(失敗より先に)成功する確率 $q_k$ を求めよ。

長さ $1$ の棒の上に、互いに独立に一様な $2$ 点をとって折り、$3$ 本の棒に分ける。この $3$ 本で三角形が作れる確率を求めよ。

表と裏が等確率で出る硬貨を、表が $2$ 回続けて出るまで投げ続ける。投げる回数の期待値を求めよ。

$n$ を自然数とする。1個のサイコロを $n$ 回投げ、出た目の積を $X$ とする。$X$ が4の倍数になる確率を $n$ を用いて表せ。

1個のサイコロを4回投げる。出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4$ とするとき、$a_1\le a_2\le a_3\le a_4$ となる確率を求めよ。

$n$ を2以上の自然数とする。1個のサイコロを $n$ 回投げるとき、出た目の最大値が5、かつ最小値が2である確率を $n$ を用いて表せ。また、$n=3$ のときのその値を求めよ。

袋の中に赤玉2個と白玉1個が入っている。袋から玉を1個取り出して色を確かめ、取り出した玉と、それと同じ色の新しい玉1個を、あわせて袋に戻す(操作のたびに袋の玉は1個増える)。この操作を繰り返す。

(1) 3回目の操作で赤玉を取り出す確率を求めよ。

(2) 2回目の操作で赤玉を取り出したとき、1回目の操作でも赤玉を取り出していた条件付き確率を求めよ。

1から $n$ までの番号が1つずつ書かれた $n$ 枚のカードをよく混ぜて一列に並べる。左から順に見ていき、それまでに見たどのカードの番号よりも大きい番号のカードが現れたとき、そのカードを「記録」と呼ぶ(先頭のカードは必ず記録である)。

(1) $n=4$ のとき、記録の枚数の期待値を求めよ。

(2) 一般の $n$ について、記録の枚数の期待値を求めよ。

立方体 $ABCD\text{-}EFGH$(底面が正方形 $ABCD$、上面が正方形 $EFGH$ で、$AE,BF,CG,DH$ が辺)の頂点 $A$ に点 $\mathrm{P}$ がある。$\mathrm{P}$ は1秒ごとに、いまいる頂点と辺で結ばれた3つの頂点のいずれかへ、それぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で移動する。6秒後に $\mathrm{P}$ が頂点 $A$ にある確率を求めよ。

$n$ 枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨をすべて取り除く。硬貨が残っていれば、残った硬貨をすべて同時に投げ、表が出たものを取り除く。この操作を繰り返す。

(1) 2回目までの操作で硬貨がすべて取り除かれる確率を求めよ。

(2) ちょうど2回目の操作で初めて硬貨がすべて取り除かれる確率を求めよ。また、$n=3$ のときのその値を求めよ。

1個のサイコロを3回投げ、出た目を順に $a,b,c$ とする。$x$ の3次方程式

$$x^3+a{x}^2+bx+c=0$$

が整数の解をもつ確率を求めよ。