telvia演習ラボ

数学A

確率 独立試行・条件付き確率・期待値

確率の基本性質、余事象、独立試行と反復試行、条件付き確率、期待値を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 2個のサイコロの確率
  2. 玉を同時に取り出す確率
  3. 和事象・排反事象の確率
  4. 余事象の確率(少なくとも)
  5. カードを3枚選ぶ確率
  6. 独立な試行の確率(くじ)
  7. 反復試行の確率(サイコロ)
  8. 反復試行の確率(コイン)
  9. 条件付き確率(基本)
  10. くじ引きと乗法定理(非復元)
  11. 期待値の計算(賞金)
  12. 点の移動の確率

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 反復試行(2回以上)
  2. ちょうど何回目に条件が達成されるか
  3. 非復元抽出と条件付き確率
  4. 独立な試行の複合(的当て)
  5. 反復試行で最も確からしい回数
  6. 3人のじゃんけん
  7. 点の移動(原点に戻る)
  8. くじ引きの順番と乗法定理
  9. 2個のサイコロの目の和の期待値
  10. 期待値による有利・不利の判断
  11. 復元抽出の反復試行
  12. 格子上の点の移動

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 原因の確率(ベイズの考え方)
  2. 反復試行と条件付き確率
  3. じゃんけんが決着するまで
  4. 数直線上の点の移動(位置と符号)
  5. 2個のサイコロの最大値の期待値
  6. 当たりを引くまでの回数の期待値
  7. 3個のサイコロの最大値
  8. 初めて成功するまでの回数の期待値

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 完全順列(プレゼント交換)
  2. 3回の結果から原因を推定する(ベイズ)
  3. くじ引きの公平性の証明
  4. 3人じゃんけんが ちょうど n 回目で決まる確率
  5. 正八角形の3頂点が作る三角形
  6. 最大値の分布と条件付き確率
  7. 原点に戻る経路(負にならない条件つき)
  8. 出た目の種類の数

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. サイコロの和がちょうど n になる確率の極限(確率漸化式と保存量)
  2. 表の枚数が3の倍数になる確率(1の3乗根の利用)
  3. ちょうど半分が表になる確率の漸近(二項係数とウォリスの融合)
  4. 自分の番号を引く人数の期待値と分散(指示関数の融合)
  5. 4種のカードをそろえるまでの回数の期待値(期待値と調和数)
  6. 持ち点が0かNになるまで(破産問題と2階漸化式)
  7. 折った棒が三角形になる確率(幾何確率と積分の融合)
  8. 表が2回続くまでの回数の期待値(期待値と状態の融合)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 出た目の積が4の倍数になる確率
  2. 出た目が増える順に並ぶ確率
  3. 最大値と最小値を同時に指定する確率
  4. 取り出した色と同じ玉を加える袋
  5. 記録が更新される回数の期待値
  6. 立方体の頂点を動く点が戻る確率
  7. 表が出た硬貨を取り除く操作
  8. サイコロの目を係数とする3次方程式

確率の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問