玉を同時に取り出す確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「同時に $2$ 個取り出す」— 順番は関係ないので組合せで数える。

急所は玉の区別だ。赤玉 $4$ 個は見た目が同じでも、確率では $1$ 個ずつ別のものとして数える。赤玉に番号を振って ${\mathrm{赤}}_1,{\mathrm{赤}}_2,{\mathrm{赤}}_3,{\mathrm{赤}}_4$ と思えばいい。

なぜか。どの玉も同じ確率でつままれるからだ。「赤玉」とひとまとめにすると、$1$ 個のかたまりと $4$ 個のかたまりを同列に扱うことになり、確率が狂う。

$$(\text{全事象})={}_7{\mathrm{C}}_2=21$$

この $21$ 通りはどれも同じ確率。あとは条件に合うものを数えて割るだけである。

赤玉4個、白玉3個を、すべて別のものとして区別する。2個の取り出し方は全部で

$${}_7{\mathrm{C}}_2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21(\text{通り})$$

(1) 2個とも赤なのは、赤4個から2個を選ぶ場合で ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通り。

$$\frac{{}_4{\mathrm{C}}_2}{{}_7{\mathrm{C}}_2}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$$

(2) 赤白1個ずつは、赤4個から1個(${}_4{\mathrm{C}}_1=4$)と白3個から1個(${}_3{\mathrm{C}}_1=3$)をかけて $4\times 3=12$ 通り。

$$\frac{{}_4{\mathrm{C}}_1\times {}_3{\mathrm{C}}_1}{{}_7{\mathrm{C}}_2}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

(確かめ: 残る『2個とも白』は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りで $\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$。$\frac{2}{7}+\frac{4}{7}+\frac{1}{7}=1$ になり、これで全部の場合を数えたことになる。)

発展 — 一歩先へ。 「袋から玉を取り出し、もとに戻さない」という設定の確率分布を超幾何分布という。品質検査の抜き取り検査、ロトくじの当選確率、生態学の標識再捕獲法(池の魚の数を推定する)— 現実の応用は広い。

対照的に、取り出した玉をもとに戻すなら、毎回同じ確率で引けるので二項分布(反復試行)になる。

$$\text{戻さない}\to \text{超幾何分布},\text{戻す}\to \text{二項分布}$$

ここが面白いところ。玉の総数がとても多いと、$1$ 個取り出しても割合はほとんど変わらない。 $7$ 個中の $1$ 個は大きいが、$7000$ 個中の $1$ 個は誤差のようなものだ。だから母集団が大きいとき、超幾何分布は二項分布で近似できる。

世論調査で $1$ 億人から $1000$ 人を選ぶとき、「戻す・戻さない」を気にしないのはこのためである。「$1$ 個取ったら残りが減る」という厄介な事実が、大きな集団では無視できる — これが統計調査の実用性を支えている。

別解

「同時に $2$ 個」を、「$1$ 個ずつ順に取り出す」と読みかえて解いてみよう。同時に取るのと、順に取るのとで、確率は変わらない — この事実の確認が、そのまま検算になる。

(1) $2$ 個とも赤玉。

$1$ 個目が赤玉である確率は、$7$ 個中 $4$ 個が赤だから

$$\frac{4}{7}$$

$1$ 個目が赤だったとして、袋には $6$ 個(うち赤 $3$ 個)が残っている。$2$ 個目も赤である確率は

$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

掛け合わせて

$$\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}$$

組合せで出した答えと一致した ✓。

(2) 赤と白が $1$ 個ずつ。

こちらは順番が $2$ 通りあることに注意。

• 赤 → 白の順: $\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}=\frac{2}{7}$
• 白 → 赤の順: $\frac{3}{7}\times \frac{4}{6}=\frac{2}{7}$

「同時に取り出す」場合、この $2$ つはどちらも「赤 $1$ 個と白 $1$ 個」という同じ結果だ。だから足す。

$$\frac{2}{7}+\frac{2}{7}=\frac{4}{7}$$

こちらも一致 ✓。

この $2$ 通りの数え方が、確率の「かけ算」と「たし算」の使い分けそのものである。$1$ つのシナリオの中で連続して起こることは掛け、別々のシナリオは足す。

さらに、全体で検算しよう。 $2$ 個の玉の色は「赤 $2$ 個」「赤 $1$ 白 $1$」「白 $2$ 個」の $3$ 通りしかない。白 $2$ 個の確率は

$$\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_7{\mathrm{C}}_2}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$$

$3$ つを足すと

$$\frac{2}{7}+\frac{4}{7}+\frac{1}{7}=1$$

ぴったり $1$ になった ✓。確率の問題では、起こりうる場合を全部足すと $1$ — この検算を習慣にすると、数え落としがその場で見つかる。答えを出したら、必ず「全部足して $1$ か?」と問う。