和事象・排反事象の確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「または」の確率は、重なりがあるかないかで式が変わる。

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

重なりを引く — これは場合の数の個数定理と同じ形だ。

(1)の「偶数」と「$3$ の倍数」は、$6$ が両方に入っている。だから重なりを引かないと $6$ を二重に数えてしまう。

(2)の「$3$ 以下」と「$8$ 以上」は、同時には起こりえない(そんなカードはない)。こういうのを排反という。排反なら重なりは $0$ なので、そのまま足せる。

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)(\text{排反のとき})$$

まず「重なりはあるか?」と問う — これが「または」の問題の第一手である。

(1) 偶数のカードは $\{2,4,6,8,10\}$ の5枚、3の倍数は $\{3,6,9\}$ の3枚。両方に入るのは6の1枚。足して重なりを引くと

$$P(\text{偶数}\cup \text{3の倍数})=\frac{5}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{10}=\frac{7}{10}$$

6を2回数えないよう、共通の $\frac{1}{10}$ を引くのがポイント。

(2) 『3以下』は $\{1,2,3\}$ の3枚、『8以上』は $\{8,9,10\}$ の3枚。この2つは同時に起きない(共通のカードがない)ので排反だ。排反なら重なりがないので、そのまま足す。

$$P(\text{3以下}\cup \text{8以上})=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

まとめ:『または』を見たら、まず「2つが同時に起こることがあるか」を確かめよう。あるなら重なりを引く、ない(排反)なら足すだけ、と手順が分かれる。

発展 — 一歩先へ。 「排反」と「独立」は、名前が似ているうえに両方とも $2$ つの事象の関係を語るので、混同されやすい。まったく別の概念である。

• 排反: 同時には起こらない。$P(A\cap B)=0$。$1$ 枚のカードが「$3$ 以下」かつ「$8$ 以上」ということはない
• 独立: 一方が起きても他方の確率が変わらない。$P(A\cap B)=P(A)P(B)$。サイコロを $2$ 回振るとき、$1$ 回目の結果は $2$ 回目に影響しない

むしろ排反な $2$ 事象(どちらも確率が正)は、決して独立ではない。 $A$ が起きたと分かった瞬間、$B$ の確率は $0$ に落ちる — これ以上ないほど強く影響しているからだ。

「排反 $\to$ 足す」「独立 $\to$ 掛ける」 と覚えておくとよい。$2$ つの用語は、確率の $2$ 大演算(和と積)に対応している。

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)(\text{排反}),P(A\cap B)=P(A)P(B)(\text{独立})$$

似た顔をした $2$ つの式が、まるで違う状況を語っている。用語の定義に立ち返って区別する — 確率で混乱しないための、いちばんの護身術である。

別解

カードが $10$ 枚しかないのだから、公式を使わず、該当するカードを指さして数えるのがいちばん確実だ。そのうえで「余事象で数えるほうが速い場合」も見ておこう。

(1) 直接、書き出す。

$$1,\boxed{2},\boxed{3},\boxed{4},5,\boxed{6},7,\boxed{8},\boxed{9},\boxed{10}$$

偶数($2,4,6,8,10$)と $3$ の倍数($3,6,9$)に印をつけると、印のついたカードは

$$2,3,4,6,8,9,10\to \text{7 枚}$$

$$P=\frac{7}{10}$$

$6$ に印を $2$ 回つけても、カードは $1$ 枚。これが「重なりを引く」ということの正体だ。$5+3=8$ ではなく $7$ になる理由が、目で見える。

余事象でも数えてみる。 印がついていないカードは

$$1,5,7\to 3\text{枚}$$

$$P=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$$

$3$ 枚数えるだけで済んだ ✓。「偶数でも $3$ の倍数でもない数」は $1$ と、$5$ 以上の素数のうち $5,7$ — 数が少ないので、こちらのほうが速い。

(2) こちらも書き出す。

$$\boxed{1},\boxed{2},\boxed{3},4,5,6,7,\boxed{8},\boxed{9},\boxed{10}$$

$3$ 以下が $3$ 枚、$8$ 以上が $3$ 枚。両方に入るカードは $1$ 枚もない(数直線の左端と右端で、離れている)。

$$P=\frac{3+3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

排反とは「同時には起こらない」ということ。 数直線に描けば、$2$ つの範囲が離れているのが一目で分かる。逆に(1)の「偶数」と「$3$ の倍数」は、$6$ という共通の住人がいるから排反ではない。

判定の一手。「両方に当てはまるものを、$1$ つでも挙げられるか?」 挙げられれば重なりあり(引く)、挙げられなければ排反(そのまま足す)。具体例を $1$ つ探すのが、抽象的な判定より速くて確実である。