数学A / 確率

復元抽出の反復試行

★★ 標準反復試行

問題

赤玉3個、白玉2個が入った袋から玉を1個取り出して色を見て、もとに戻す。この操作を3回繰り返す。赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

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毎回もとに戻すので、赤の確率は毎回一定。『3回中ちょうど2回赤』の反復試行 — どの2回が赤かの選び方に確率をかける。

解答・解説

『取り出して、もとに戻す』ので、毎回の状況が同じ(赤の確率が $\frac{3}{5}$ で一定)だ。これは反復試行そのものだ。

もし戻さない設定なら、毎回確率が変わって反復試行が使えない。だから『戻す/戻さない』の一文を、必ず確認しよう。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「取り出して、もとに戻す」。この一文がすべてを決める。

戻すから、毎回の状況が同じ(赤の確率 $\frac{3}{5}$ で一定)。これは反復試行そのものだ。

もし戻さない設定なら、毎回確率が変わって反復試行は使えない。「戻す/戻さない」の確認を、確率の問題を読む最初の儀式にしよう。

公式反復試行:

_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

(毎回もとに戻す=確率一定)

取り出した玉をもとに戻すので、毎回、赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{5}$ で一定、白玉は $\frac{2}{5}$ 。同じことの繰り返しなので、反復試行の公式が使える。3回中ちょうど2回赤が出る確率は

$_{3} C_{2} (\frac{3}{5})^{2} (\frac{2}{5})^{1} = 3 \times \frac{9}{25} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 9 \times 2}{125} = \frac{54}{125}$

$_{3} C_{2} = 3$ は『どの2回で赤が出るか(赤赤白・赤白赤・白赤赤)』の並びの数だ。この問題の核心は『もとに戻す』の一言。もし戻さなければ確率が毎回変わり、反復試行ではなく非復元の乗法定理で扱うことになる。設定を読み違えないのがいちばん大事だ。

発展 — 一歩先へ。 復元(戻す)と非復元(戻さない)の対比は、数学Bで二項分布と超幾何分布という2つの分布の対比として正式に整理される。

袋の玉が非常に多いときは、1個抜いても割合がほぼ変わらないので、非復元でも復元に近い計算が使える。世論調査が「戻さない抽出」なのに二項分布で近似できるのは、この理屈による。

答

$\frac{54}{125}$

玉に背番号を付けて、「同様に確からしい列」で数え直すこともできる。

赤玉を①②③、白玉を④⑤とする。3回の取り出し方は、毎回5通りずつで $5^{3} = 125$ 通り。戻すから毎回5個全部が候補で、どの列も同じ確からしさだ。

赤がちょうど2回出る列を数える。白が出る回の選び方 $3$ 通り、その回の白の選び方 $2$ 通り、赤の2回はそれぞれ $3$ 通りずつ。

$3 \times 2 \times 3 \times 3 = 54 (通り)$

$\frac{54}{125}$

公式 $_{3} C_{2} (\frac{3}{5})^{2} (\frac{2}{5})$ と同じ値だ。「確率 $\frac{3}{5}$ 」の裏には、いつでもこの背番号の数え上げが隠れている。公式に不安を感じたら、背番号の世界に降りて数え直せばよい。