点の移動(原点に戻る)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 6回動いて原点に戻る。位置の条件を、回数の条件に翻訳する。

右(表)を $a$ 回、左(裏)を $b$ 回とすると、$a+b=6$(回数)と $a-b=0$(位置)。解いて $a=b=3$。

「表がちょうど3回」の確率を反復試行で計算すればよい。移動の問題は、いつも「位置 → 回数」の翻訳が最初の一手だ。

表が $a$ 回、裏が $b$ 回出たとすると、投げた回数と移動の合計から

$$a+b=6,a-b=0$$

(表で $+1$・裏で $-1$ なので、移動の合計は $a-b$。原点に戻るには $a-b=0$。)これを解くと $a=b=3$、つまり表3回・裏3回のとき原点に戻る。

6回中ちょうど3回表が出る確率は、反復試行より

$${}_6{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=20\times \frac{1}{64}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$$

まとめ:位置の条件『原点に戻る』を、回数の条件 $a=b$ に置きかえるのがすべてだ。表と裏が同じ回数になればよいので、${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りの『どの3回で表が出るか』を、全体 $2^6=64$ で割った、と考えても同じ。奇数回投げると原点に戻れない、という見通しも持っておこう。

発展 — 一歩先へ。 この設定はランダムウォークと呼ばれ、確率論の看板役者だ。「奇数回後には絶対に原点に戻れない」(表裏同数になれないから)といった性質も、回数の翻訳から即座に読める。

「途中で一度も負の側に入らない」などの条件がつくと、経路の数え上げに反射の工夫が要る難問の世界になる。原点戻りの今日の計算は、その最初の一歩である。

別解

確率のかけ算を使わず、「同様に確からしい列」の数え上げに持ち込む道もある。

コイン6回の表裏の列は $2^6=64$ 通りあり、コインに偏りがないから、どの列も同じ確からしさだ。

原点に戻る列は「表3・裏3」の列。6回のうち表の3回の位置を選ぶと決まるから ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通り。

$$\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$$

反復試行の公式 ${}_6{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ は、この「列の数 ÷ 全列数」を書き直したものだ。確率が $\frac{1}{2}$ ずつのときは、数え上げに戻すほうが見通しがよいことも多い。