数学A / 確率

くじ引きの順番と乗法定理

★★ 標準乗法定理くじ引き

問題

当たりくじ2本、はずれくじ4本の合計6本のくじを、A, B, C がこの順に1本ずつ引く。引いたくじはもとに戻さない。

(1) A が当たり、B がはずれる確率を求めよ。

(2) C が当たる確率を求めよ。

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(1)は『 $A$ 当たり』のあと『残りで $B$ はずれ』をかける(非復元)。(2)は $C$ の番でも、くじは何番目に引いても当たる確率は同じ(公平)— 直接考えてよい。

解答・解説

戻さない(非復元)くじは、乗法定理で順にかけていく。

(1)は『A当たり → Bはずれ』と条件が続くので、確率を順にかける。

(2)の『Cが当たる』は、A・Bの結果によらず、くじの公平さから $\frac{2}{6}$ に等しい。まじめに場合分けして足しても同じ値になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 戻さないくじは、乗法定理で順にかけていく。

(1)は「A 当たり → B はずれ」と条件が続くから、 $\frac{2}{6} \times \frac{4}{5}$ と順にかける。B の分母が5に減るのが非復元の印だ。

(2)の「C が当たる」は、まじめに A・B の結果で場合分けして足してもよいが、実は $\frac{2}{6}$ と即答できる。くじ引きは順番によらず公平、という事実を知っているかどうかの問題である。

公式乗法定理

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

(取り出すごとに残りが変わる)

(1) A が当たる確率は $\frac{2}{6}$ 。A が当たった後、残り5本中はずれは4本なので、続けて B がはずれる確率は $\frac{4}{5}$ 。順にかけて

$\frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

(2) くじを引く順番は当たりやすさに関係しない(くじの公平さ)。だから C が当たる確率は A や B と同じで

$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

まとめ:念のため場合分けで確かめてもよい。C が当たるには、A, B の2本のうち当たりが何本出たかで分かれるが、どの経路をていねいに足しても最後は $\frac{1}{3}$ になる。「順番によらない」と覚えておけば、計算を省ける。

発展 — 一歩先へ。 「先に全部並べてから配る」への言い換えは、時間の流れに沿った確率(乗法定理の連鎖)を、配置の数え上げ(組合せ)に変換する強力な視点だ。玉の非復元抽出でも同じことができる。

ただし公平性が成り立つのは「途中の結果を見ない」場合だ。前の人の結果が公開され、それを見てから引くかどうか選べる設定では話が変わる。条件の違いに敏感になることが、確率の読解力である。

答

(1) $\frac{4}{15}$ (2) $\frac{1}{3}$

公平性のからくりは、「くじを先に並べておく」と考えると一目で見える。

6本のくじをよくまぜて1列に並べ、A は1番目、B は2番目、C は3番目のくじを取る、と決めても、引く行為とまったく同じことだ。

当たり2本がどの位置に入るかは $_{6} C_{2} = 15$ 通りで、どれも同じ確からしさ。3番目の位置が当たりになる組は、もう1本の当たりの置き場所が残り5か所だから $5$ 通り。

$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

どの位置を選んでも同じ計算になる。「順番が後だと不利」という直感は、前の人の結果を見てから引く場合の話と混同している。結果を知らずに引く限り、全位置は対等だ。

(1)も並びの言葉で言えば「1番目が当たり、2番目がはずれ」の配置の割合で、 $\frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{15}$ と一致する。