正八角形の3頂点が作る三角形

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 頂点は外接円の周上にある。だから円周角の考え方が使える。

$3$ 頂点は円周を $3$ つの弧に分ける。弧の大きさの組 $(a,b,c)$($a+b+c=8$、各 $\ge 1$)で三角形の形が決まる。

急所は「最大の弧」を見ること。最大の弧が半円ちょうど($=4$)なら、その弧に対する円周角が $90°$ で直角三角形。半円を超える($\ge 5$)なら鈍角。半円未満なら鋭角。あとは弧の組を数え上げる。

① 選び方の総数。 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$ 通り。正八角形の頂点は外接円の周を $8$ 等分しているので、隣り合う頂点の間を「弧 $1$ 個分」と数える。

② 三角形の形を弧の言葉に翻訳する。 $3$ 頂点は円周を $3$ つの弧 $(a,b,c)$($a+b+c=8$、各 $\geqq 1$)に分ける。頂点の角は「向かい合う弧」に対する円周角だから

• すべての弧が $3$ 以下 → 鋭角三角形
• どれかの弧がちょうど $4$(半円=直径をはさむ)→ 直角三角形
• どれかの弧が $5$ 以上 → 鈍角三角形

③ (1) 直角三角形を数える。 弧 $4$ を作る $2$ 頂点は直径の両端。正八角形の直径は $4$ 本あり、残りの $1$ 頂点は他の $6$ 個から自由に選べるから

$$4\times 6=24\text{通り}P=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$$

④ (2) 鈍角三角形を数える。 最大の弧が $5$ 以上、つまり $3$ 頂点が「連続する $4$ 頂点分の範囲」に収まる場合である。順序を込めた弧の組 $(a,b,c)$ で数える:$a\geqq 5$ とすると $a^{\prime }=a-4\geqq 1$、$a^{\prime }+b+c=4$ の正の整数解は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ 組。$a$、$b$、$c$ のどれが大きいかで $3$ 倍し、$9$ 組。弧の組 $1$ つに対して、円周上の配置(回転)が $8$ 通り、$1$ つの三角形は $3$ つの順序で数えられているから

$$\frac{9\times 8}{3}=24\text{通り}P=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$$

(残りは鋭角三角形で $56-24-24=8$ 通り、$\frac{1}{7}$。$3$ つの和が $1$ になることが検算になる。)

まとめ:円に内接する多角形の頂点から作る三角形の形は、「弧の分け方」に翻訳すると数え上げに変わる。直角=直径をはさむ、はターレスの定理そのもの。鋭角が意外に少ない($\frac{1}{7}$)のも、この翻訳をすると納得できる。

発展 — 一歩先へ。 円に内接する三角形の形は「最大の弧」で決まる: 半円未満で鋭角、半円ちょうどで直角(直径が辺)、半円超で鈍角。正 $n$ 角形の頂点から作る三角形の鋭角・直角・鈍角の個数も、この弧の分類で数え上げられる。円周角の定理が、確率と幾何を橋渡ししている。

別解

別解 — 直角三角形は「直径を $1$ 辺にもつ」で数える(得意な人向けの視点)。 円に内接する三角形が直角三角形 $⟺$ $1$ 辺が直径(円周角の定理の逆)。正八角形で直径になるのは、向かい合う頂点を結ぶ対角線 $4$ 本。

直角三角形は「$1$ 本の直径 + 残り $6$ 頂点から $1$ つ」。直径 $4$ 本 $\times$ 残り $6$ 頂点 $=24$ 個。全体 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$ で、直角の確率 $\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$。

鈍角は「最大の弧 $\ge 5$」。最大弧 $=5,6$ の場合を数えると、こちらも $24$ 個で $\frac{3}{7}$。鋭角は残りの $\frac{1}{7}$($8$ 個)。

弧の組 $(a,b,c)$ を全部数える本解に対し、直角は「直径を含むか」で直接数えられる。$24+24+8=56$ とすべて足すと全体に一致するのが検算になる。正 $2m$ 角形なら直径が $m$ 本あり、直角三角形が $m(2m-2)$ 個、という一般化にもつながる。