数学A / 確率

最大値の分布と条件付き確率

★★★★ 難関条件付き確率最大値

問題

$1$ から $9$ までの番号が $1$ つずつ書かれた $9$ 枚のカードから、同時に $3$ 枚を取り出す。取り出した $3$ 枚の番号の最大値を $X$ 、最小値を $Y$ とする。

(1) $X ≦ 7$ となる確率を求めよ。

(2) $X = 7$ となる確率を求めよ。

(3) $X = 7$ であったとき、 $Y ≧ 3$ である条件付き確率を求めよ。

ヒントを見る

『最大がちょうど $7$ 』は『 $7$ 以下』から『 $6$ 以下』を引く — または『 $7$ を含み、残りは $6$ 以下』。(3)では分母が変わる:世界は『最大 $7$ 』の場合だけに縮む。

解答・解説

方針

最大値の問題は「 $X ≦ k$ ⟺ $3$ 枚とも $k$ 以下」と読み替えるのが基本。「ちょうど $= 7$ 」は「 $7$ 以下」−「 $6$ 以下」または「 $7$ を含み残り $2$ 枚は $6$ 以下」。(3)は世界が「 $X = 7$ の $15$ 通り」に縮んだ中での割合を数える。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最大値 $X$ の問題は、「 $X \leq k ⟺ 3$ 枚とも $k$ 以下」と読み替えるのが基本だ。

(1) $X \leq 7$ は「 $3$ 枚とも $7$ 以下」、 $7$ 枚から $3$ 枚選ぶので $(3 7)$ 通り。

(2) 「ちょうど $X = 7$ 」は「 $7$ 以下」 $-$ 「 $6$ 以下」、または「 $7$ を必ず含み残り $2$ 枚は $6$ 以下」 $= (2 6)$ 通り。

(3) は条件付き確率。世界が「 $X = 7$ の $15$ 通り」に縮んだ中で、さらに $Y \geq 3$ ( $3$ 枚とも $3$ 以上、かつ最大 $7$ )の割合を数える。

① (1) 「最大 $≦ 7$ 」を読み替える。 $X ≦ 7$ ⟺ $3$ 枚とも ${1, \dots, 7}$ から取り出されている。

$P (X ≦ 7) = \frac{( 3 7 )}{( 3 9 )} = \frac{35}{84} = \frac{5}{12}$

② (2) 「ちょうど $7$ 」は差で取る。 $X = 7$ ⟺ $X ≦ 7$ かつ $X ≦ 6$ でない、だから

$P (X = 7) = \frac{( 3 7 ) - ( 3 6 )}{( 3 9 )} = \frac{35 - 20}{84} = \frac{15}{84} = \frac{5}{28}$

(別の数え方: $7$ を必ず含み、残り $2$ 枚を ${1, \dots, 6}$ から選ぶ $(2 6) = 15$ 通り — 一致する。)

③ (3) 世界を縮めて数え直す。 条件付き確率では、分母が「 $X = 7$ の $15$ 通り」に変わる。その中で $Y ≧ 3$ となるのは、 $7$ 以外の $2$ 枚を ${3, 4, 5, 6}$ から選ぶ場合だから $(2 4) = 6$ 通り。

$P (Y ≧ 3 ∣ X = 7) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

まとめ:最大値・最小値の確率は「以下・以上への読み替え」と「ちょうど=差」の $2$ つで処理する。条件付き確率は「分母の世界の縮小」— 公式に代入するより、縮んだ世界( $15$ 通り)の中で直接数えるほうが速く、間違いも少ない。

発展 — 一歩先へ。 最大値 $X$ の分布は $P (X \leq k) = \frac{( 3 k )}{( 3 9 )}$ (累積分布)で、差をとれば $P (X = k)$ 。順序統計量(標本の最大・最小・中央値など)の分布は、この「 $\leq k$ で読み替える」手法で系統的に求まる。統計で「 $n$ 個中の最大値」を扱うときの基本テクニックだ。

答

(1) $\frac{5}{12}$ (2) $\frac{5}{28}$ (3) $\frac{2}{5}$

別解

別解 — 最小値・最大値の同時分布を“枠”で数える(得意な人向けの視点)。 (3) を、最大 $7$ ・最小 $\geq 3$ の同時条件として直接数える。

「 $X = 7$ かつ $Y \geq 3$ 」 $⟺$ 「 $7$ を必ず含み、残り $2$ 枚は ${3, 4, 5, 6}$ から」。 $7$ は確定、残り $2$ 枚を $4$ 枚から選ぶので $(2 4) = 6$ 通り。

「 $X = 7$ 」は $7$ を含み残り $2$ 枚を ${1, \dots, 6}$ から、 $(2 6) = 15$ 通り。

だから条件付き確率は $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ 。

「 $X \leq k ⟺$ 全部 $k$ 以下」で最大値を攻める本解に対し、最小値との同時条件は「 $7$ を含み、残りを ${3, \dots, 6}$ という枠に収める」と枠で数えると速い。 $X = 7, Y \geq 3$ は「 $7$ を上端に固定し、下端を $3$ 以上に制限した窓」の中の選び方だ。

ポイント

$X ≦ k$ ⟺ 全部 $k$ 以下。「ちょうど」は差または「 $k$ を含み残りは $k - 1$ 以下」。
条件付き確率=縮んだ世界( $X = 7$ の $15$ 通り)での割合。

よくある間違い

最大値 $X$ を「 $X \leq k ⟺$ 全部 $k$ 以下」と読み替えず、直接数えて煩雑になる。
「ちょうど $X = 7$ 」を「 $7$ を含む」( $= (2 6)$ )でなく「 $7$ 以下」で数える。
(3) の条件付き確率の分母を全体 $84$ にする(分母は $X = 7$ の $15$ )。