2個のサイコロの最大値の期待値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「最大値 $=k$」は直接数えにくい。だが「全部 $k$ 以下」なら、各サイコロが独立で一発だ。

そこで「ちょうど $k$」を、「$k$ 以下」から「$k-1$ 以下」を引いた差でとらえる。

累積(以下)を部品にして、差分で欲しい確率を作る。この数え方の設計が発想の核だ。

最大値 $M=k$ となる場合の数を求める。『$M=k$』は、『2つとも $k$ 以下(最大が $k$ を超えない)』から『2つとも $k-1$ 以下(最大が $k$ に届かない)』を除いたものだ。

$$（M=k\text{ の場合の数}）=k^2-(k-1{)}^2=2k-1$$

だから $P(M=k)=\frac{2k-1}{36}$($k=1,2,\dots ,6$)。実際、$k=1$ で $\frac{1}{36}$、$k=6$ で $\frac{11}{36}$ となり、合計は $\frac{1+3+5+7+9+11}{36}=\frac{36}{36}=1$ で、ちゃんと確率になっている。

期待値は ${\sum }_{k=1}^{6}k\cdot P(M=k)$ で

$$E(M)=\frac{1}{36}\sum _{k=1}^{6}k(2k-1)=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 5+4\cdot 7+5\cdot 9+6\cdot 11}{36}$$

$$=\frac{1+6+15+28+45+66}{36}=\frac{161}{36}$$

まとめ:$\frac{161}{36}\fallingdotseq 4.47$ だ。1個の目の期待値 $3.5$ より大きいのは、2つのうち大きいほうをとっているので当然。『最大値 = (以下)の差』という数え方が、この種の問題の突破口になる。

発展 — 一歩先へ。 最小値 $L$(小さいほうの目)の期待値も、同じ道具で出せる。ただし対称性を使うと一瞬だ。

各サイコロの目 $x$ を $7-x$ に置きかえると、大小がそっくり入れかわる。この置きかえで最大値と最小値が入れかわるから、$E(L)=7-E(M)=7-\frac{161}{36}=\frac{91}{36}$。

$E(M)+E(L)=7$ になるのは、$\max (a,b)+\min (a,b)=a+b$ がつねに成り立つからだ。両辺の期待値をとれば $E(M)+E(L)=E(a)+E(b)=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7$ となる。

別解

別解 — 最大値を「和と差」で書き直す(得意な人向けの恒等式の視点)。 $2$ 数 $a,b$ の大きいほうは、次の恒等式で書ける。

$$\max (a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}.$$

(和の半分が中点、差の絶対値の半分が中点から端までの距離、と見ればよい。)期待値は和ごとに分けられるから

$$E(M)=\frac{E(a)+E(b)+E(|a-b|)}{2}.$$

$1$ 個のサイコロの目の期待値は $E(a)=E(b)=\frac{7}{2}$。差の絶対値 $|a-b|$ は $36$ 通りを数えて

$$E(|a-b|)=\frac{0\cdot 6+1\cdot 10+2\cdot 8+3\cdot 6+4\cdot 4+5\cdot 2}{36}=\frac{70}{36}=\frac{35}{18}.$$

よって

$$E(M)=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{2}+\frac{7}{2}+\frac{35}{18}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{161}{18}=\frac{161}{36}.$$

最大値の分布 $P(M=k)$ を作らずに、目の平均と「差の平均」だけで期待値が出る。本解と同じ答えだ。