当たりを引くまでの回数の期待値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回数 $X$ の期待値を出すには、まず $X=k$ の確率がいる。

$X=k$ は「最初の $k-1$ 本が全部はずれ、$k$ 本目が当たり」だ。これを乗法定理で順に作り、表にする。有限本のくじだから、場合は $4$ つで尽きる。

「確率分布の表を完成させてから期待値」。この手順を崩さないことが、確実さにつながる。

引く回数 $X$ は、最初の当たりが出る場所だ。戻さないので、確率を順に計算する。

$$P(X=1)=\frac{2}{5}$$

$$P(X=2)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

$$P(X=3)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$$

$$P(X=4)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{2}=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}$$

(はずれは3本しかないので、4本目までには必ず当たりが出る。$X=5$ はありえない。)確率の合計は $\frac{2}{5}+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{4+3+2+1}{10}=1$ で、ちゃんと確率になっている。

期待値は

$$E(X)=1\cdot \frac{2}{5}+2\cdot \frac{3}{10}+3\cdot \frac{1}{5}+4\cdot \frac{1}{10}=\frac{4}{10}+\frac{6}{10}+\frac{6}{10}+\frac{4}{10}=\frac{20}{10}=2(\text{回})$$

まとめ:期待値がちょうど2回になるのは、偶然ではない。当たり $a$ 本を含む $n$ 本のくじで、最初の当たりまでの回数の期待値は $\frac{n+1}{a+1}$ という公式があり、ここでは $\frac{5+1}{2+1}=2$ と合う。戻さないときは、確率が毎回変わることをていねいに追うのがポイントだ。

発展 — 一歩先へ。 もし引いたくじを毎回もとに戻すと、当たりの確率は毎回 $\frac{2}{5}$ で一定になり、初めて当たるまでの回数は幾何分布になる。その期待値は $\frac{1}{2/5}=\frac{5}{2}$ 回だ。

戻さない今回は $2$ 回で、戻すより少ない。当たりを引かない限りはずれが減っていくので、後半ほど当たりやすくなり、早く当たるからだ。

一般に、当たり $a$ 本・全 $n$ 本なら、戻さないとき期待値は $\frac{n+1}{a+1}$、戻すとき $\frac{n}{a}$。$a\le n$ より、前者のほうがつねに小さい(か等しい)。

別解

別解 — 「はずれ $1$ 本ずつ」に注目する(得意な人向けの対称性の視点)。 くじ $5$ 本を無作為に $1$ 列に並べ、左から引くと考える。引く回数 $X$ は、最初の当たりの位置だ。

$X$ を「$1+$(最初の当たりより前にあるはずれの本数)」と書く。そこで、はずれ $1$ 本ずつに注目する。

あるはずれ $1$ 本と、当たり $2$ 本の計 $3$ 本だけを見る。この $3$ 本の並び順で、そのはずれが「$2$ 本の当たりより前」に来る確率は、どれが先頭かが等確率だから $\frac{1}{3}$。

はずれは $3$ 本ある。最初の当たりより前に来るはずれの本数の期待値は $3\times \frac{1}{3}=1$。よって

$$E(X)=1+1=2(\text{回}).$$

分布の表を作らなくても、はずれ $1$ 本ごとの寄与を足すだけで期待値が出る。本解と同じ答えになる。