折った棒が三角形になる確率(幾何確率と積分の融合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 折る $2$ 点を $X,Y$ とすると、$(X,Y)$ は単位正方形 $[0,1{]}^2$ 上に一様に散らばる。だから確率は「条件を満たす領域の面積」そのものになる。

三角形が作れる条件も言い換えておく。『どの辺も他の $2$ 辺の和より短い』は、周の長さが $1$ だから『どの片も $\frac{1}{2}$ 未満』と同じ。

あとは $3$ 片の長さを $X,Y$ で書き、$3$ つの不等式の領域を正方形の中に描いて面積を測るだけだ。連続の確率が面積計算に化ける典型である。

① $3$ 片を書く。 $X<Y$ の場合、$3$ 片は $X,Y-X,1-Y$。三角形の条件は $$X<\frac{1}{2},Y-X<\frac{1}{2},1-Y<\frac{1}{2}(\text{すなわち}Y>\frac{1}{2}).$$ ② 領域の面積を求める。 $X>Y$ の場合も対称。下の図で、条件を満たすのは色をつけた $2$ つの三角形。

$X<Y$ 側の領域は $3$ 点 $\left(0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},1\right)$ を頂点とする直角三角形で、面積は $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。$X>Y$ 側も対称で $\frac{1}{8}$。 ③ 確率。 全体(正方形)の面積は $1$ だから $$P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.$$

まとめ 「棒を折って三角形」は、折る点を正方形上の一様点とみて“面積 $=$ 確率”。三角形の成立条件を『各片 $<\frac{1}{2}$』と言い換え、領域の三角形2つ(合計 $\frac{1}{4}$)を数える。幾何確率と三角形の成立条件の融合。答えは $\frac{1}{4}$。

発展 — 一歩先へ。 折る点を $n-1$ 個に増やして $n$ 片にしても、別解の論法がそのまま通る。どれかの片が $\frac{1}{2}$ 以上になる事象は排反で、各確率は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ が $n$ 通り。よって $n$ 角形が作れる確率は $1-\frac{n}{2^{n-1}}$。$n=3$ で $\frac{1}{4}$、$n=4$ で $\frac{1}{2}$ と、片数が増えるほど作りやすくなる。

別解

別解 — 「できない確率」を対称性で数える(得意な人向けの高い視点)。 三角形が「できない」のは、$3$ 片のどれかが $\frac{1}{2}$ 以上のとき。しかも $2$ つの片が同時に $\frac{1}{2}$ 以上になることはない(足すと全長 $1$ を超えてしまう)。

だから“できない確率”は、$3$ つの排反な事象の和になる。

• 左の片が $\frac{1}{2}$ 以上 $⟺$ $2$ 点とも右半分にある。確率は $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
• 右の片が $\frac{1}{2}$ 以上 $⟺$ $2$ 点とも左半分。同じく $\frac{1}{4}$。
• 真ん中の片が $\frac{1}{2}$ 以上 $⟺$ $2$ 点の間隔が $\frac{1}{2}$ 以上。正方形の $|X-Y|\ge \frac{1}{2}$ の部分は直角三角形 $2$ つで、面積 $\frac{1}{4}$。

合計 $\frac{3}{4}$ が「できない」確率。よって求める確率は $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ と、領域を細かく塗らずに出せる。$3$ つの事象がどれも同じ $\frac{1}{4}$ になる対称性が美しい。