数学A / 確率

期待値による有利・不利の判断

★★ 標準期待値判断

問題

次のゲームがある。参加料 300 円を払ってサイコロを1回投げ、出た目の数の 100 倍の金額(円)を受け取る。このゲームに参加することは、得か損か。受け取る金額の期待値を用いて判断せよ。

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受け取る金額の期待値を出して、参加料と比べる。期待値 > 参加料なら得。金額は(目)×100 なので、目の期待値を100倍。

解答・解説

『得か損か』は、受け取る金額の期待値と参加料を比べればわかる。

期待値が参加料より大きければ、長い目で見て得(平均すると利益が出る)。

まず受け取る金額の期待値を計算し、300円と比べる。期待値は『1回あたり平均していくら受け取れるか』なので、判断の目安にちょうど使える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「得か損か」を1回の結果で判断はできない。運で変わるからだ。比べるべきは、受け取る金額の「平均」と参加料である。

受け取る金額の期待値を計算する。目の期待値が $\frac{7}{2}$ だから、その100倍で $350$ 円。

参加料 $300$ 円より $50$ 円多い。長い目で見れば1回あたり平均 $50$ 円の得、と判断できる。

受け取る金額は『出た目 × 100 円』だ。サイコロの目の期待値は $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ なので、受け取る金額の期待値は

$100 \times \frac{7}{2} = 350 (円)$

これを参加料と比べる。

$350 (受取の期待値) > 300 (参加料)$

受け取る金額の期待値350円が、参加料300円を上回る。だから平均すると、1回あたり $350 - 300 = 50$ 円の利益が見込める。よって参加するほうが得だ。

期待値による判断は「1回ごとには勝ったり負けたりするが、何度も繰り返せば平均して期待値に近づく」という考えに基づく。もし参加料がちょうど350円ならトントン(損得なし)、350円より高ければ参加は損になる。

発展 — 一歩先へ。 「実際の平均が期待値に近づく」ことを保証するのが、数学Bで登場する大数の法則だ。保険料の設計も宝くじの還元率も、この法則の上に立っている。

現実の意思決定では、期待値だけでなく「ばらつき(リスク)」も見る。期待値が同じでも、確実な $350$ 円と、 $0$ 円か $700$ 円かの賭けでは意味が違う。ばらつきを測る道具が分散で、これも数学Bで確率変数の道具として本格化する。

答

受け取る金額の期待値は350円で、参加料300円より50円多いので、参加するほうが得。

期待値の意味を、「理想の6回」で体感する見方がある。

6回プレイして、目が $1$ から $6$ まで1回ずつ出たとしよう(いちばん均等な理想のケースだ)。

受け取る合計は $100 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 2100$ 円。払う参加料は $300 \times 6 = 1800$ 円。差し引き $+ 300$ 円、つまり1回あたり $+ 50$ 円。

期待値の比較( $350$ 対 $300$ )が出した「1回あたり $50$ 円の得」と、ぴったり同じ数字になる。

期待値とは、この「理想の均等な出方をしたときの1回あたりの平均」のことだ。現実には回数を重ねるほど、実際の平均がこの値に近づいていく。