数学A / 確率

出た目が増える順に並ぶ確率

最難関編重複組合せ1対1対応

問題

1個のサイコロを4回投げる。出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ とするとき、 $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4}$ となる確率を求めよ。

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4つの数の列を順に場合分けすると果てしない。条件を満たす列は、出た目の「内訳」を決めるとただ1通りに並ぶ — 数えるべきものを、列そのものから内訳に取り換えられないか。

解答・解説

方針

条件を満たす目の列は「どの目が何回出たか」という内訳だけで1通りに決まる。だから条件を満たす列は、1〜6から重複を許して4個選ぶ選び方と1対1に対応する。列を数える問題を組合せを数える問題に取り換える。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「増える順に並んでいる列」を先頭から場合分けして数えると、手に負えない。

逆向きに見る。出た目の内訳(1が何回、2が何回、…)を決めれば、それを $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4}$ に並べる方法はただ1通りしかない。つまり「条件を満たす列」と「1〜6から重複を許して4個選ぶ選び方」は、1対1に対応する。

数える対象を、列から重複組合せに取り換える。これが急所だ。

公式異なる

n

種類から重複を許して

r

個選ぶ組合せの総数は

_{n + r - 1} C_{r}

(○

r

個と仕切り

n - 1

本の並べ替え)

① 1対1対応を確かめる。 たとえば内訳が「1が1回、3が2回、6が1回」なら、条件を満たす列は $1, 3, 3, 6$ の1通りだけ。逆に、条件を満たす列からは内訳がただ1つ決まる。だから

(条件を満たす列の数)=(1〜6から重複を許して4個選ぶ選び方の数)

内訳「1が1回・3が2回・6が1回」⟺ ○4個と仕切り5本の並び(仕切りの間が左から目1〜6の部屋)。この内訳から条件を満たす列は 1,3,3,6 の1通りに決まる

② 個数を数える。 ○4個(選んだ目)と仕切り5本(目1〜6の部屋の境目)の並べ替えだから

$_{6 + 4 - 1} C_{4} =_{9} C_{4} = 126 通り$

③ 確率にする。 目の列は全部で $6^{4} = 1296$ 通りあり、どの列も等確率で現れる。よって

$P = \frac{126}{1296} = \frac{7}{72}$

まとめ: 数えにくい対象は、個数の等しい数えやすい対象に1対1対応で取り換える。「並べ方が1通りに決まる」ことが、数え漏れも二重数えもない(対応が崩れない)理由になっている。

発展 — 一歩先へ。 同じ計算で、 $n$ 回なら $_{n + 5} C_{n} / 6^{n}$ 。また条件を厳密増加 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ に変えると、重複が許されなくなって $_{6} C_{4} = 15$ 通り、確率 $\frac{15}{1296} = \frac{5}{432}$ 。「以下」と「未満」で答えの姿がどう変わるか、対で見ると理解が深まる。

答

$\frac{7}{72}$

別解

ずらして「すべて異なる」に変える(得意な人向け)。 重複組合せの公式を覚えていなくても、次の変換で普通の組合せに帰着できる。

条件を満たす列 $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4}$ に対し

$b_{1} = a_{1}, b_{2} = a_{2} + 1, b_{3} = a_{3} + 2, b_{4} = a_{4} + 3$

とずらすと、「以下」が「未満」に変わって $b_{1} < b_{2} < b_{3} < b_{4}$ 、しかも $b_{i}$ は $1$ から $9$ の範囲を動く。逆にそのような $b$ の列から $a$ の列がただ1つ復元できる(1対1対応)。

つまり、数えるべきものは「1〜9から異なる4個を選ぶ」選び方で

$_{9} C_{4} = 126 通り$

○と仕切りの公式そのものを、この「ずらし」が生み出している。等号つきの並びを等号なしに変換する一手は、数え上げの各所で再利用できる。

ポイント

条件を満たす列 ⟺ 目の内訳(重複を許した選び方)の1対1対応。
個数は $_{9} C_{4} = 126$ 通り。
$P = \frac{126}{6 ^{4}} = \frac{7}{72}$ 。

よくある間違い

1対1対応の理由(内訳を決めれば並べ方は1通り)を書かずに $126$ を天下りに使う。対応の確認が答案の心臓部。
$_{n + r - 1} C_{r}$ の当てはめで $_{10} C_{4}$ とする。 $n = 6, r = 4$ なら $6 + 4 - 1 = 9$ 。
分母まで組合せの数にしてしまう。分母は順序つきの全事象 $6^{4}$ (どの列も等確率になるのはこちら)。