反復試行の確率(コイン)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コイン $5$ 回、表がちょうど $3$ 回 — 前問と同じ反復試行だ。

ただしコインは表も裏も確率 $\frac{1}{2}$ で対等なので、式がぐっと簡単になる。

$$P={}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^5$$

成功と失敗の確率が同じなので、掛け算の部分が ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$ にまとまる。

つまり、表裏の並び $32$ 通りは、どれも同じ確率 $\frac{1}{32}$ である。あとは「表が $3$ 回の並びが何通りあるか」を数えるだけ — ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ 通り。

$$P=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$$

確率が等しいときは、場合の数の問題に戻る。

表を『成功』とすると $p=\frac{1}{2}$。5回中ちょうど3回表が出る確率は、反復試行の公式より

$${}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^5$$

表・裏とも確率が $\frac{1}{2}$ なので、${\left(\frac{1}{2}\right)}^3\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$ とまとまる。${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ だから

$$10\times \frac{1}{32}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$$

まとめ:表裏が同じ確率のときは、全部で $2^5=32$ 通りのうち『表が3回』の並びが ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ 通り、と考えて $\frac{10}{32}$ としても同じだ。反復試行の公式は、この『場合の数 ÷ 全体』を、一般の確率 $p$ に広げたものだと思えばよい。

発展 — 一歩先へ。 コインを投げる回数を増やすと、分布の山はどうなるか。

$n=5$ なら $1,5,10,10,5,1$。$n=10$ なら $1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1$ — 中央が高く、両端が低い、なめらかな山になっていく。

$n$ を大きくしていくと、この山は釣鐘型の曲線(正規分布)に限りなく近づく。これが中心極限定理だ。$1$ 回のコイン投げは「表か裏か」という無味乾燥な $2$ 択なのに、$100$ 回足し合わせると、美しい釣鐘が立ち上がる。

そして、山はどんどん細くなる。$n=100$ なら、表の回数が $40$〜$60$ に入る確率は $95\%$ を超える(割合で言えば $0.4$〜$0.6$)。$n=10000$ なら、割合が $0.49$〜$0.51$ に入る確率が $95\%$ 以上。回数を増やすほど、実際の割合は理論値 $0.5$ に張りついていく — これが大数の法則である。

「たくさん試せば、確率どおりになる」 — 保険会社が成り立つのも、カジノが儲かるのも、世論調査が当たるのも、すべてこの法則のおかげだ。$1$ 回のコイン投げは予測できないのに、$1$ 万回の集計は驚くほど正確に予測できる。偶然の中から、必然が立ち上がってくるのである。

別解

コインは表裏が対等だから、$32$ 通りを全部数えることができる。パスカルの三角形を使えば、書き出さずとも分布が丸ごと手に入る。

表の出る回数ごとに、並びの数を数える。 表を $◯$、裏を $\times$ として、$5$ 回ぶんの並びを分類しよう。

合計は $1+5+10+10+5+1=32=2^5$ ✓ — 全事象とぴったり一致する。

この $1,5,10,10,5,1$ は、パスカルの三角形の $5$ 段目だ。書き出さなくても、三角形を $5$ 段作れば読み取れる。

$$\begin{array}{c}1\\ 11\\ 121\\ 1331\\ 14641\\ 15101051\end{array}$$

表が $3$ 回の並びは $10$ 通りだから

$$P=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$$

確率が等しいときは、「確率の計算」が「数え上げ」に戻る — これがこのルートの気持ちよさだ。

表から読める、もう $1$ つの事実。 分布が左右対称になっている($1,5,10,10,5,1$)。当然だ — コインには表裏の区別しかなく、どちらも $\frac{1}{2}$ なのだから、「表 $3$ 回」と「裏 $3$ 回($=$ 表 $2$ 回)」の確率は同じでなければおかしい。

$${}_5{\mathrm{C}}_3={}_5{\mathrm{C}}_2=10$$

組合せの対称性 ${}_n{\mathrm{C}}_r={}_n{\mathrm{C}}_{n-r}$ が、確率の対称性として現れている。

そしてもう $1$ つ。$5$ 回投げたとき、いちばん出やすいのは「表 $2$ 回」か「表 $3$ 回」で、どちらも $\frac{10}{32}\approx 0.31$。 ちょうど半々の $2.5$ 回は存在しないので、山の頂上が $2$ つに割れているのだ。「表がちょうど半分」が最頻値になるという素直な事実が、$5$ 回という奇数のせいで少しひねられている — 分布を見ないと気づけない機微である。