数学A / 確率

ちょうど何回目に条件が達成されるか

★★ 標準反復試行

問題

1個のサイコロを繰り返し投げる。3回目に、ちょうど2度目の6の目が出る確率を求めよ。

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『3回目に2度目の6』=『最初の2回でちょうど1回6、かつ3回目が6』。前半(反復試行で1回)と、最後の1回(必ず6)を分けてかける。

解答・解説

『ちょうど◯回目に△度目の成功』というタイプは、条件を『最後の1回』と『それより前』に分けて考える。

3回目に2度目の6が出るには、(i)最初の2回でちょうど1回だけ6が出て、(ii)3回目が6、の両方が必要だ。

(i)を反復試行で、(ii)を単独の確率で計算して、かけ合わせる。3回目は必ず6と決まっている点に注意。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「ちょうど◯回目に△度目の成功」というタイプは、条件を「最後の1回」と「それより前」に分けて考える。

3回目に2度目の6が出るには、2つのことが同時に要る。(i)最初の2回でちょうど1回だけ6が出る。(ii)3回目が6。

(i)は反復試行、(ii)は単独の確率。連続して起こる条件だから、かけ合わせる。3回目は「6と確定」していて選ぶ余地がない点が急所だ。

3回目に『2度目の6』が出るには、次の2つが同時に起こる。

最初の2回でちょうど1回6: 反復試行の公式で

$_{2} C_{1} (\frac{1}{6})^{1} (\frac{5}{6})^{1} = 2 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{36}$

3回目が6: 確率 $\frac{1}{6}$ 。

この2つは続けて起こるので、かけ合わせて

$\frac{10}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{10}{216} = \frac{5}{108}$

ポイントは、最後の回(3回目)を『必ず6』と切り離すこと。もし3回目に $_{3} C_{2}$ のような数をかけると、6が出る場所を数え過ぎてしまう。数がつくのは『最初の2回のどこで1回目の6が出るか』の $_{2} C_{1}$ だけで、3回目の場所は決まっている。

発展 — 一歩先へ。 「最後の1回を固定して、手前を反復試行で数える」構図は、「初めて成功するまでの回数」「 $r$ 度目の成功が $n$ 回目に来る確率」へと一般化される。どれも最後の1回だけが特別扱い、という同じ設計だ。

サイコロを振り続けて「2度目の6が出るまでの回数の平均」を問う期待値の問題も、この構図の延長線上にある。

答

$\frac{5}{108}$

3回しかないので、あてはまる「列」を書き出してしまう手もある。

6を「六」、6以外を「他」と書くと、3回目にちょうど2度目の6が出る列は

の2パターンだけだ(六・六・六は3回目が「3度目」になるので不可)。

それぞれの確率は $\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$ で共通。2パターン足して $\frac{10}{216} = \frac{5}{108}$ 。

公式ルートの $_{2} C_{1}$ は、この「六の置き場所2通り」を数えていたのだと分かる。回数が少ないうちは書き出しが確実で、公式の意味の確認にもなる。