独立な試行の複合(的当て)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 A と B の命中は独立だ。だから確率をかけて組み合わせられる。

まず各人の当たり・はずれの確率を整理する。A は当たり $\frac{2}{3}$・はずれ $\frac{1}{3}$、B は $\frac{1}{2}$ ずつ。

(1)はかけ算。(2)は反対の「2人ともはずれ」を使う。(3)は「A 当・B 外」と「A 外・B 当」の2つを足す。問いごとに道具を切りかえる。

A は当たり $\frac{2}{3}$・はずれ $\frac{1}{3}$、B は当たり $\frac{1}{2}$・はずれ $\frac{1}{2}$。2人の命中は独立だ。

(1) 2人とも当てるのは、かけ算で

$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

(2) 『少なくとも1人当てる』の反対は『2人ともはずれる』。

$$1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$

(3) ちょうど1人だけ当てるのは、『Aが当ててBがはずす』と『AがはずしてBが当てる』の2つ(同時には起きない)。

$$\underset{\text{A当・B外}}{\underbrace{\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}}}+\underset{\text{A外・B当}}{\underbrace{\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

(確かめ: 『2人とも当てる』$\frac{1}{3}$ +『ちょうど1人』$\frac{1}{2}$ +『2人ともはずれ』$\frac{1}{6}$ $=1$ になり、これで全部の場合を数えた。)『少なくとも1人』は『ちょうど1人 + 2人とも』でもあり、$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ と(2)に合う。

発展 — 一歩先へ。 「少なくとも一方」を足し算で処理したいなら、重なりを引く $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ を使う($\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ で一致)。集合の個数定理と同じ形だ。

表のマスが「行の確率 × 列の確率」になっている状態こそが独立の定義である。独立でない2事象なら、マスの値が積からずれる。そのずれを測るのが条件付き確率だ。

別解

結果は4通りしかない。最初に「4分割の表」を作ってしまうと、3つの問い全部が表の読み取りになる。

各マスは行と列の確率の積(独立だから掛けてよい)。4マスの合計が $1$ になることが、まず検算になる。

• (1) 左上のマス: $\frac{1}{3}$
• (2) 右下(2人はずれ)以外: $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
• (3) 右上+左下: $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

「独立な2つの試行=縦横の表」という絵は、条件付き確率や独立性の判定でもそのまま使える基本装備だ。