数学A / 確率

反復試行で最も確からしい回数

★★ 標準反復試行最大確率

問題

1個のサイコロを10回投げる。1の目が出る回数を $X$ とするとき、確率 $P (X = k)$ が最大となる $k$ の値を求めよ。

ヒントを見る

$P (X = k)$ を1つずつ計算するのは大変。隣どうしの比 $\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )}$ を作り、それが $1$ より大きい間は増え、 $1$ を下回ると減る — 増加から減少に変わる $k$ が最大。

解答・解説

各 $k$ について $P (X = k)$ を全部計算して比べるのは大変だ。

そこで、となり合う確率の比 $\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )}$ を考える。この比が1より大きいうちは確率がふえ続け、1より小さくなったところで減り始める。その境目が最大だ。

反復試行で最大の確率を探すときは、この『比を1と比べる』やり方が便利だ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 各 $k$ について $P (X = k)$ を11個ぜんぶ計算して比べるのは大変だ。

そこで、となり合う確率の比 $\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )}$ を見る。比が1より大きいうちは増え続け、1を下回った所で減り始める。その境目が最大だ。

「値そのもの」でなく「増減の切り替わり」を追う。最大値探しの発想としては、2次関数の頂点探しと同じ心である。

$P (X = k) =_{10} C_{k} (\frac{1}{6})^{k} (\frac{5}{6})^{10 - k}$ だ。となり合う確率の比をとると、 $_{10} C_{k}$ の部分と累乗の部分が整理できて

$\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{10 - k}{k + 1} \cdot \frac{1}{5} = \frac{10 - k}{5 ( k + 1 )}$

この比が1より大きければ $P (X = k + 1) > P (X = k)$ (ふえる)、1より小さければ減る。比と1の大小を調べる。

$\frac{10 - k}{5 ( k + 1 )} > 1 ⟺ 10 - k > 5 (k + 1) ⟺ 10 - k > 5 k + 5 ⟺ 5 > 6 k ⟺ k < \frac{5}{6}$

つまり $k = 0$ のときだけ比が1より大きく( $P (X = 1) > P (X = 0)$ )、 $k \geq 1$ では比が1より小さい( $P (X = 2) < P (X = 1)$ 以降ずっと減る)。だから確率は $k = 1$ で最大になる。

$k = 1$

まとめ:感覚でも、1の目が出る回数は平均で $10 \times \frac{1}{6} = \frac{10}{6} ≒ 1.7$ 回なので、いちばん出やすい回数がその近くの1回、というのは自然だ。

発展 — 一歩先へ。 この分布(二項分布)の山の頂上は、期待値 $n p$ のすぐ近くに来る。今日の $n p = \frac{10}{6} \approx 1.7$ と最頻値 $k = 1$ の関係が、その実例だ。数学Bで期待値・分散を学ぶと、山の位置と幅が式で読めるようになる。

「隣どうしの比で増減を判定する」手法は、数列の最大項探しの標準技術でもある。確率に限らず、 $a_{k + 1} / a_{k}$ と1の比較はあらゆる場面で使える。

答

$k = 1$

あたりを付けてから、2つの比較だけで決める省エネルートもある。

回数の「平均」は $10 \times \frac{1}{6} = \frac{10}{6} \approx 1.7$ 回。最大の候補は、この近くの $k = 1$ か $k = 2$ に絞られるはずだ。

そこで両隣とだけ比べる。

$\frac{P ( 1 )}{P ( 0 )} = \frac{10}{1} \times \frac{1}{5} = 2 > 1$ 。だから $P (1) > P (0)$ 。
$\frac{P ( 2 )}{P ( 1 )} = \frac{9}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{9}{10} < 1$ 。だから $P (2) < P (1)$ 。

山は $k = 1$ で頂上と確定する。

「期待値の近くに最頻値がある」という感覚で候補を絞り、比較は最小限に。分布の形(単峰の山)を信じた分だけ、計算が軽くなる。