条件付き確率(基本)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「自転車通学の生徒だった」と分かってしまった後の確率を聞かれている。

ここが急所だ。情報が入った瞬間、世界が狭くなる。

もう $40$ 人のクラス全体は関係ない。自転車通学の生徒だけの世界に入り込んで、その中で男子の割合を見ればよい。

• 自転車通学の生徒: 男子 $18$ 人 $+$ 女子 $10$ 人 $=$ $28$ 人
• そのうち男子: $18$ 人

$$P=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$$

分母は $40$ ではなく $28$。 「条件がついた」とは「分母が入れかわった」ということ — 世界が縮むのが条件付き確率の正体である。

条件付き確率では、条件がつくと『考える全体』がせまくなる。ここでは『自転車通学だった』という条件がついたので、分母はクラス全体ではなく自転車通学者だけになる。

自転車通学の生徒は、男子18人 + 女子10人 = 28人。この28人が新しい『全体』だ。そのうち男子は18人なので、選んだ生徒が男子である確率は

$$\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$$

記号で書くと、$A$ を『男子』、$B$ を『自転車通学』として

$$P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$$

条件付き確率のコツは「条件がついたら、分母をその条件の中に取りかえる」こと。全体40人で割って $\frac{18}{40}$ とすると、条件『自転車通学』を使えていない。

発展 — 一歩先へ。 $2$ つの条件付き確率をつなぐ橋が、ベイズの定理である。

$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$

「$A$ のもとでの $B$」から「$B$ のもとでの $A$」へ向きを反転させる公式だ。人数の表で言えば、行を見る確率と列を見る確率を行き来する道具になる。

この定理が強力なのは、原因と結果をさかのぼれるからだ。

• 「病気なら陽性が出やすい」(原因 → 結果)は、医学が教えてくれる
• 知りたいのは「陽性が出た。では病気か?」(結果 → 原因)

観測から原因を推定する — これがベイズの定理の役割である。迷惑メールの判定(「この単語が出た。ではスパムか?」)、医療診断、機械学習の分類器 — 現代の情報技術は、この定理の上に立っている。

そして忘れてはならないのが、式の中の $P(A)$ — もともとの割合(事前確率)だ。病気の人が $1000$ 人に $1$ 人しかいないという事実が、$P(A)$ として効いてくる。「めったにないことは、証拠が出てもやはりめったにない」 — この当たり前を、数式が忘れずに教えてくれる。

$\frac{18}{28}$ という小さな分数から、ここまで来た。条件付き確率は、確率論のいちばん深い場所への入口である。

別解

定義の式から出すルートを見ておこう。そして、取り違えると人生を左右しかねない罠を紹介する。

定義式で解く。

$$P(\text{男}\mid \text{自転車})=\frac{P(\text{男 かつ 自転車})}{P(\text{自転車})}$$

それぞれ $40$ 人を分母にして計算する。

• $P(\text{男 かつ 自転車})=\frac{18}{40}$
• $P(\text{自転車})=\frac{28}{40}$

割り算すると

$$P=\frac{18/40}{28/40}=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$$

$40$ が約分で消えた。 人数のまま $\frac{18}{28}$ とやったのと、結局は同じ計算である。「分母を付け替える」という直感が、定義式そのものだったわけだ。

まず、$2\times 2$ の表で全体を把握しておく。

求めたのは「自転車の列($28$ 人)の中で、男子($18$ 人)の割合」。列を $1$ つ選んで、その中を見る — 表があれば一目瞭然だ。

さて、ここからが本題。逆向きの確率と混同してはいけない。

$$P(\text{自転車}\mid \text{男})=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$$

こちらは「男子の行($24$ 人)の中で、自転車($18$ 人)の割合」。$\frac{3}{4}$ であって、$\frac{9}{14}\approx 0.64$ とはまったく違う数である。

同じ $18$ を、違う分母で割っている。 どちらの世界に入り込むかで、答えが変わるのだ。

この取り違えは、現実に深刻な誤りを生む。 有名な例を挙げよう。

• ある病気の検査で、病気の人が陽性になる確率は $99\%$
• では、陽性だった人が病気である確率も $99\%$ か?

答えは「否」。病気の人がもともと $1000$ 人に $1$ 人しかいないなら、陽性者の大半は「健康なのに誤って陽性になった人」で埋め尽くされる。陽性者が本当に病気である確率は $10\%$ 程度にしかならない、ということが起こる。

$$P(\text{陽性}\mid \text{病気})\ne P(\text{病気}\mid \text{陽性})$$

条件と結果を入れかえると、確率はまるで変わる。 裁判で「犯人ならこの証拠が残る確率は高い」を「この証拠があるなら犯人である確率は高い」とすり替える誤り(検察官の誤謬と呼ばれる)も、まったく同じ構造だ。

「どちらの世界の中で数えているのか」を、いつも意識する。 条件付き確率は、その一点に尽きる。