くじ引きと乗法定理(非復元)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「引いたくじはもとに戻さない」— だから $\mathrm{A}$ が引いた後、くじは $9$ 本に減る。$\mathrm{B}$ の確率は、$\mathrm{A}$ の結果に左右される。

(2)「$\mathrm{A}$ も $\mathrm{B}$ も当たる」は、$2$ 段階で考える。

• $\mathrm{A}$ が当たる: $\frac{3}{10}$
• その後、$\mathrm{B}$ が当たる: 残り $9$ 本のうち当たりは $2$ 本 → $\frac{2}{9}$

$$\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{1}{15}$$

$\mathrm{B}$ の分母を $10$ のままにしないこと。 これが乗法定理($P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)$)だ。

(3)「$\mathrm{B}$ が当たる」は、$\mathrm{A}$ が当たった場合とはずれた場合の $2$ つの道がある。両方を足さないといけない。

さて、答えは(1)と同じ $\frac{3}{10}$ になる。 偶然だろうか — それとも?

(1) 10本中当たりは3本だから、Aが当たる確率は

$$\frac{3}{10}$$

(2) Aが当たった後、くじは残り9本、当たりは2本。Aが当たり、続けてBも当たる確率は、順にかけて

$$\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$$

(3) Bが当たるのは、次の2つの場合に分かれる(同時には起きない)。

• Aが当たり、Bも当たる: $\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}$
• Aがはずれ、Bが当たる: $\frac{7}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{21}{90}$

(Aがはずれた後は、残り9本中当たり3本のまま。)これらを足して

$$\frac{6}{90}+\frac{21}{90}=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}$$

(3)の答えが(1)と同じ $\frac{3}{10}$ になったのは、偶然ではない。くじを引く順番は当たりやすさに関係しない — 先に引いても後で引いても、当たる確率は同じだ。これは「くじ引きの公平さ」として知られる大事な性質だ。

発展 — 一歩先へ。 (3)で使った「$2$ つの道を足す」計算は、全確率の定理と呼ばれる。

$$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})$$

「$\mathrm{B}$ が当たる」という出来事を、$\mathrm{A}$ の結果で場合分けして分解し、それぞれの重み(確率)を掛けて足す。知らない事実(A の結果)を、すべての可能性にわたって"ならす" — 確率の平均化操作である。

この定理は、次に学ぶベイズの定理の分母として必ず登場する。「陽性である確率」を求めるとき、「病気で陽性」と「健康で誤って陽性」の $2$ つの道を足す — まったく同じ構造だ。

そして、くじの公平性はもっと強い形で成り立つ。 $n$ 本のくじ(当たり $k$ 本)を $n$ 人が順に引くとき、何番目の人も当たる確率は $\frac{k}{n}$。証明は「全員の当たる確率の合計 $=$ 当たりの本数 $k$」と「全員が対等」という対称性から一瞬で出る。

「対称性から結論する」 — 計算に埋もれる前に、構造を見る。この目が、遠回りを何度も救ってくれる。

別解

(3)の答えが(1)と同じ $\frac{3}{10}$ になったのは、偶然ではない。この事実を、計算せずに見抜く方法がある。くじ引きの公平性の話だ。

発想の転換: くじを「引く」のではなく、「あらかじめ一列に並べる」と考える。

$10$ 本のくじを、引く順番どおりに横一列に並べたと思ってほしい。

$$\underset{\mathrm{A}\text{の分}}{\underbrace{\square }}\underset{\mathrm{B}\text{の分}}{\underbrace{\square }}\square \square \square \square \square \square \square \square$$

$3$ 本の当たりは、この $10$ 個の場所のどこかに、まったくランダムに散らばっている。

$\mathrm{A}$ は $1$ 番目の場所を、$\mathrm{B}$ は $2$ 番目の場所を受け取るだけ。では問おう — $1$ 番目の場所が当たりである確率と、$2$ 番目の場所が当たりである確率に、差はあるだろうか?

あるはずがない。 どの場所も対等で、$10$ 個の場所のうち $3$ 個が当たりなのだから、どの場所も当たりである確率は $\frac{3}{10}$。

$$P(\mathrm{A}\text{が当たる})=P(\mathrm{B}\text{が当たる})=\cdots =P(10\text{番目の人が当たる})=\frac{3}{10}$$

くじ引きは、引く順番によらず公平なのである。$1$ 番目に引こうが最後に引こうが、当たる確率は変わらない。

もちろん、計算でも確かめられる。 $\mathrm{B}$ が当たるには $2$ つの道がある。

• $\mathrm{A}$ が当たり → $\mathrm{B}$ も当たり: $\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}$
• $\mathrm{A}$ ははずれ → $\mathrm{B}$ が当たり: $\frac{7}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{21}{90}$

この $2$ つは排反なので足して

$$\frac{6}{90}+\frac{21}{90}=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}$$

きれいに $\frac{3}{10}$ ✓。

なぜ直感は「先に引くほうが有利」と思うのか。 $\mathrm{A}$ が当たりを引いてしまえば、$\mathrm{B}$ の当たる確率は $\frac{2}{9}\approx 0.22$ に下がる — これは事実だ。しかし $\mathrm{A}$ がはずれれば、$\mathrm{B}$ の確率は $\frac{3}{9}\approx 0.33$ に上がる。

この $2$ つが、ちょうど打ち消し合う。 「$\mathrm{A}$ が当たって不利になる場合」より「$\mathrm{A}$ がはずれて有利になる場合」のほうが起こりやすい($\frac{7}{10}$ 対 $\frac{3}{10}$)ので、ならしてみれば元どおり — これが $\frac{3}{10}$ の内訳だ。

$\mathrm{A}$ の結果を「知らない」限り、$\mathrm{B}$ は $1$ 番目と同じ立場にいる。 情報がなければ、順番は意味を持たない。「知る」ことが確率を変える — 条件付き確率の核心が、ここにも顔を出している。