数学A / 確率

点の移動の確率

★ 基礎点の移動反復試行

問題

数直線上の原点に点 P がある。コインを投げて、表が出れば P を正の向きに 1、裏が出れば負の向きに 1 だけ動かす。コインを4回投げたとき、P が原点にある確率を求めよ。

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表の回数 $a$ 、裏の回数 $b$ とすると、回数の合計と、移動の合計(原点に戻る=差が $0$ )の2式ができる。これを解いて表・裏が何回ずつか出し、反復試行の確率に。

解答・解説

方針

点の移動は「表・裏が何回ずつ出れば、その場所に来るか」を、位置の条件から逆算するのがコツだ。

4回動いて原点(合計の移動が0)に戻るには、右への動き(表)と左への動き(裏)が打ち消し合う必要がある。

表・裏が何回ずつ出ればよいかを求めて、その確率を反復試行で計算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 点の動きを追いかけるのではなく、「表が何回出れば原点に戻るか」に翻訳する。

$4$ 回のうち表が $x$ 回、裏が $4 - x$ 回出たとする。点の位置は

$(+ 1) \times x + (- 1) \times (4 - x) = 2 x - 4$

これが $0$ になるのは $x = 2$ のとき。つまり

$(原点に戻る) ⟺ (表がちょうど 2 回、裏がちょうど 2 回)$

動きの問題が、コイン投げの反復試行に化けた。

$P =_{4} C_{2} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

「原点に戻る」条件を、回数の言葉に翻訳する — これが第一手である。位置を $1$ つずつ追う必要はない。

数直線上を、表で +1・裏で −1 だけ動く点 P

4回のうち表が $a$ 回、裏が $b$ 回出たとする。回数の合計と、移動の合計から

$a + b = 4, a - b = 0$

(表で $+ 1$ 、裏で $- 1$ なので、移動の合計は $a - b$ 。原点に戻るには $a - b = 0$ 。)これを解くと $a = b = 2$ 、つまり表2回・裏2回のとき原点に戻る。

あとは反復試行で計算する。4回中ちょうど2回表が出る確率は

$_{4} C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

まとめ:ポイントは、位置の条件(原点に戻る)を『表と裏の回数』の条件 $a - b = 0$ に置きかえること。位置の問題を回数の問題に読みかえれば、あとは反復試行の計算に持ち込める。ちなみに、奇数回(たとえば3回)投げると $a - b$ は奇数にしかならず、原点(移動0)には戻れない。この見通しも持っておこう。

発展 — 一歩先へ。 $2 n$ 回投げて原点に戻る確率は

$P_{2 n} =_{2 n} C_{n} (\frac{1}{2})^{2 n}$

$n = 2$ ( $4$ 回)なら $\frac{6}{16} = 0.375$ 。 $n = 5$ ( $10$ 回)なら $\frac{252}{1024} \approx 0.246$ 。 $n = 50$ ( $100$ 回)なら約 $0.08$ — 回数が増えるほど、ぴったり原点に戻る確率は下がっていく(遠くまで行ってしまうから)。

ところが、ここに驚くべき定理がある。「いつかは必ず原点に戻ってくる」(確率 $1$ で)。ぴったり $2 n$ 回目に戻る確率は小さくても、 $2, 4, 6, \dots$ と機会は無限にあるので、戻らずに終わることはありえないのだ。しかも、戻るまでにかかる回数の期待値は無限大という(直感を裏切る)おまけつきである。

さらに驚くのは、次元によって話が変わること。

$1$ 次元・ $2$ 次元のランダムウォークは、必ず出発点に戻る
$3$ 次元では、戻らずに永遠にさまよう確率が $0$ ではない(戻る確率は約 $34 %$ )

「酔っぱらいは家に帰れるが、酔った鳥は帰れない」— 数学者のあいだで語り継がれる言い回しである。

数直線上でコインを投げる、たったそれだけの設定が、次元の深遠な違いを暴き出す。 高校の確率は、こういう世界の入口に立っている。

答

$\frac{3}{8}$

別解

$4$ 回の表裏は $2^{4} = 16$ 通りしかない。全部の行き先を調べて、点がどこにいるかの分布を作ってしまおう。 そこから、この問題の隠れた構造が見えてくる。

表の回数ごとに、最終位置を計算する。

表の回数	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
最終位置	$- 4$	$- 2$	$0$	$+ 2$	$+ 4$
通り数	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$

通り数の合計は $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ ✓ — 全事象と一致する。

原点( $0$ )にいるのは $6$ 通りだから

$P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

この表から、 $3$ つのことが読み取れる。

$1$ つ目: 分布はパスカルの三角形( $1, 4, 6, 4, 1$ )。 左右対称で、中央(原点)が最も高い。原点にいる確率が最大( $\frac{6}{16} = 0.375$ )なのだ。「 $4$ 回もふらふら歩いたのに、いちばんありそうなのは出発点」— 意外だが、そういうものである。

$2$ つ目: 到達できる位置は偶数だけ。 $- 4, - 2, 0, 2, 4$ しかなく、 $\pm 1$ や $\pm 3$ には絶対に行けない。

なぜか。 $1$ 回動くごとに、位置の偶奇が必ず入れかわるからだ。 $0$ (偶)→ $\pm 1$ (奇)→ 偶 → 奇 $\dots$ と交互になる。だから偶数回の後は必ず偶数の位置、奇数回の後は必ず奇数の位置にいる。

$4 回 (偶数) 投げた後は、必ず偶数の位置$

この「偶奇の壁」は、とても強力な道具だ。たとえば「 $3$ 回投げて原点に戻る確率は?」と聞かれたら、計算するまでもなく $0$ 。 $3$ 回後は必ず奇数の位置にいて、 $0$ (偶数)には絶対に立てない。パリティ(偶奇)で不可能を証明する — 整数問題やパズルでも大活躍する発想である。

$3$ つ目: これは「ランダムウォーク」の第一歩。 酔っぱらいが右へ左へふらつきながら歩く様子(酔歩とも呼ばれる)は、まさにこの問題そのものだ。

株価の変動、花粉が水面で震える現象(ブラウン運動)、分子の拡散 — 自然と社会のあちこちに、この単純なコイン投げの構造が潜んでいる。 $n$ 回歩いたときの散らばりは $n$ に比例して広がる、という美しい法則も、この表を大きくしていけば見えてくる。

数直線上をふらふらする点 — その素朴な問いが、現代科学の中心的なモデルなのだ。

ポイント

位置の条件を「表・裏の回数」の連立方程式に置きかえる
原点に戻る = 表と裏が同じ回数(移動の合計が0)
回数が決まれば反復試行 $_{n} C_{r} (\frac{1}{2})^{n}$ で計算

よくある間違い

表・裏の回数を求めず、いきなり確率を計算しようとする
$_{4} C_{2}$ をかけ忘れ、 $(\frac{1}{2})^{4}$ だけにしてしまう
奇数回投げても原点に戻れると思ってしまう(1回動くごとに位置の偶奇が入れかわる)