表が2回続くまでの回数の期待値(期待値と状態の融合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ゴール(表 $2$ 連続)への近さは、直前の $1$ 投が表だったかどうかだけで決まる。表なら「あと $1$ 回表で上がり」、裏やスタートなら振り出しだ。

そこで $2$ つの状態に期待値を置く。$E_0=$「直前が表でない状態から、終わるまであと何回か」、$E_1=$「直前が表の状態から、あと何回か」。

$1$ 手投げると、出た面で次の状態が決まる。この“$1$ 手先で場合分け”が期待値の連立方程式を生む。無限に続きうる試行が、有限個の方程式に化ける。

① 状態を分けて式を立てる。 どちらの状態でも、まず $1$ 回投げる(その $1$ を計上)。

• $E_0$(直前が表でない):投げて表($\frac{1}{2}$)なら状態 $1$ へ、裏($\frac{1}{2}$)なら状態 $0$ のまま。 $$E_0=1+\frac{1}{2}{E}_1+\frac{1}{2}{E}_0.$$
• $E_1$(直前が表):投げて表($\frac{1}{2}$)なら $2$ 連続で終了(あと $0$ 回)、裏($\frac{1}{2}$)なら状態 $0$ へ。 $$E_1=1+\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}{E}_0.$$

② 連立を解く。 $E_0$ の式から $\frac{1}{2}{E}_0=1+\frac{1}{2}{E}_1$、すなわち $E_0=2+E_1$。$E_1=1+\frac{1}{2}{E}_0$ を代入して $$E_0=2+(1+\frac{1}{2}{E}_0)=3+\frac{1}{2}{E}_0⟹\frac{1}{2}{E}_0=3⟹E_0=6.$$ (このとき $E_1=1+3=4$。) ③ 答え。 求める期待値はスタート(直前が表でない)からの $E_0=6$(回)。

まとめ 無限に続きうる試行の期待値は、『状態(=直前が表か)』を見つけて $1$ 手先で場合分けし、期待値の連立方程式にするのが定石。状態を絞れば有限で解ける。確率(期待値)と漸化式(連立)の融合で、答えは $6$ 回。

発展 — 一歩先へ。 待ち時間はパターンの“形”に依存する。表裏(表のあとに裏)を待つ期待回数は $4$ 回で、表表の $6$ 回より短い。表表は失敗(裏)で積み上げが全部消えるのに対し、表裏は表が出続けても“次に裏が出れば完成”の状態が保たれるからだ。直感に反する有名な事実である。

別解

別解 — 「$1$ 段短い連の上に積む」漸化式(得意な人向けの高い視点)。 表 $r$ 連続までの期待回数を $T_r$ とおく。$r$ 連続を作るには、まず $r-1$ 連続を作り(期待 $T_{r-1}$ 回)、その直後にもう $1$ 回投げる。

表($\frac{1}{2}$)ならそこで完成。裏($\frac{1}{2}$)なら積み上げがゼロに戻り、まるごとやり直しになる。よって

$$T_r=T_{r-1}+1+\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}{T}_r⟹T_r=2T_{r-1}+2.$$

$T_0=0$ から $T_1=2$、$T_2=6$。本解と同じ答えが、“連を $1$ 段ずつ積む”分解からも出る。

この漸化式は一般の $r$ でも解けて $T_r=2^{r+1}-2$($3$ 連続なら $14$ 回)。倍々で急に伸びるのは、失敗すると積み上げた連が全部消えるせいだ。