余事象の確率(少なくとも)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「少なくとも $1$ 回」を見たら、反対を考える。 これは確率の合言葉だ。

「少なくとも $1$ 回は $6$ が出る」を直接数えると、$6$ がちょうど $1$ 回・$2$ 回・$3$ 回の $3$ 通りに場合分けが必要になる。面倒だし、数え落としやすい。

ところが反対(余事象)は、たった $1$ 通りしかない。

$$(\text{少なくとも 1 回は 6})\text{の反対}=(\text{1 度も 6 が出ない})$$

$1$ 回も $6$ が出ないのは、$3$ 回とも「$6$ 以外」が出るということ。$1$ 回あたり $\frac{5}{6}$ で、それが $3$ 回続くから ${\left(\frac{5}{6}\right)}^3$。

$$P=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3$$

「少なくとも」の反対は「$1$ つも $\dots$ ない」。 ここを取り違えないこと。

「少なくとも1回は6」の反対は、「1回も6が出ない = 3回とも6以外の目」だ。

1回で6以外が出る確率は $\frac{5}{6}$。3回とも6以外になる確率は、各回が別々に起こる(独立)ので、かけ合わせて

$${\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{125}{216}$$

だから求める確率は

$$1-\frac{125}{216}=\frac{216-125}{216}=\frac{91}{216}$$

もし正面から数えると、『ちょうど1回6』$={}_3{\mathrm{C}}_1\left(\frac{1}{6}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^2$ などを3つ足すことになって大変だ。『少なくとも1つ』を見たら、まず反対の『1つもない』を計算できないか考えよう。

発展 — 一歩先へ。 $n$ 回投げて「少なくとも $1$ 回は $6$ が出る」確率は

$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$

${\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ は $n$ を増やすとどんどん $0$ に近づくので、この確率は $1$ に限りなく近づく(数IIIの極限)。「投げ続ければ、いつかは $6$ が出る」— 直感と一致する。

しかし決して $1$ にはならない。$100$ 回投げても ${\left(\frac{5}{6}\right)}^{100}\approx 1.2\times 10^{-8}$ の確率で、$6$ が $1$ 度も出ないことがありうる。$1$ 億分の $1$ 程度だが、$0$ ではないのだ。

この「$0$ に近づくが、$0$ ではない」という感覚は、確率を扱ううえで決定的に重要である。めったに起こらないことは、起こらないことと同じではない。 事故も、大当たりも、確率が小さいだけで、試行回数が増えれば必ずどこかで起こる。

$1$ 回あたり $\frac{1}{100}$ の事故を、$100$ 回繰り返したとき無事故で済む確率は

$${\left(\frac{99}{100}\right)}^{100}\approx 0.366$$

$3$ 分の $1$ 程度しかない。「$1\%$ なんて小さい」と侮ると足をすくわれる — リスク管理の基本が、この単純な計算に詰まっている。

別解

あえて正面から数えて、余事象のありがたみを味わおう。 そして「なぜ余事象がこれほど強いのか」を理解する。

正面ルート: $6$ が出る回数で場合分けする。

$3$ 回のうち $6$ が出る回数は $1$ 回、$2$ 回、$3$ 回のどれか。それぞれの確率を出す。

$6$ がちょうど $1$ 回: どの回に出るかで $3$ 通り。その回が $\frac{1}{6}$、他の $2$ 回は $6$ 以外で ${\left(\frac{5}{6}\right)}^2$。

$$3\times \frac{1}{6}\times \frac{25}{36}=\frac{75}{216}$$

$6$ がちょうど $2$ 回: どの $2$ 回かで $3$ 通り。

$$3\times \frac{1}{36}\times \frac{5}{6}=\frac{15}{216}$$

$6$ が $3$ 回:

$$\frac{1}{216}$$

この $3$ つは排反(同時には起こらない)なので、足す。

$$\frac{75+15+1}{216}=\frac{91}{216}$$

余事象と同じ答え ✓。ただし、手間は $3$ 倍以上かかった。

なぜ余事象が強いのか。 「少なくとも $1$ 回」の反対は、たった $1$ つのシナリオ(全部はずれ)に凝縮される。一方、正面から行くと $1$ 回・$2$ 回・$3$ 回とシナリオが枝分かれする。

$3$ 回投げなら $3$ 通りの場合分けで済むが、$10$ 回投げたらどうなるか。 正面ルートは $10$ 通りの場合分けが必要になる。しかし余事象なら

$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^{10}\approx 0.838$$

— 回数が増えても、式の形はまったく変わらない。これが余事象の破壊力だ。

「少なくとも $1$ つ」型の問題は、余事象がほぼ常に正解ルートである。反対側の世界が $1$ 本道になるからだ。

ついでに面白いことを $1$ つ。 「何回投げれば、$6$ が少なくとも $1$ 回出る確率が $50\%$ を超えるか?」

$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\approx 0.42(\text{まだ半分未満})$$

$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4\approx 0.518(\text{超えた!})$$

$4$ 回投げれば、$6$ が出るほうに賭けたほうが得になる。ちなみに「サイコロを $6$ 回投げれば $6$ が $1$ 回は出るだろう」と思いがちだが、実際は $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\approx 0.665$ — $3$ 回に $1$ 回は、$6$ 回投げても $6$ が出ない。直感は、確率をしばしば見誤る。