サイコロの和がちょうど n になる確率の極限(確率漸化式と保存量)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和が「ちょうど $n$」を通るかどうかは、直前にどの値を通ったかで決まる。直前の和は $n-1,\dots ,n-6$ のどれかで、そこから対応する目が出れば $n$ に乗る。

だから $p_n$ は過去 $6$ 項の平均、という漸化式になる。

極限の見当もつけておこう。$1$ 歩で平均 $\frac{7}{2}$ 進むから、特定の整数を踏む割合はその逆数 $\frac{2}{7}$ くらいのはず。この直感を、漸化式がもつ“重み付きの保存量”で厳密に裏づける。

① 漸化式を立てる。 和がちょうど $n(\ge 1)$ を通るには、直前に $n-i(i=1,\dots ,6)$ を通り、次に目 $i$ が出ればよい(各目 $\frac{1}{6}$)。よって $$p_n=\frac{1}{6}(p_{n-1}+p_{n-2}+\cdots +p_{n-6}),p_0=1,p_{<0}=0.$$ ② 保存量を見つける。 $C_n=6p_n+5p_{n-1}+4p_{n-2}+3p_{n-3}+2p_{n-4}+p_{n-5}$ とおくと、$6p_n=p_{n-1}+\cdots +p_{n-6}$ を使って $$C_n-C_{n-1}=6p_n-(p_{n-1}+p_{n-2}+\cdots +p_{n-6})=0.$$ よって $C_n$ は $n$ によらず一定で、$C_n=C_0=6p_0=6$。

③ 極限。 $p_n$ は収束する($p_n\to L$。漸化式の特性方程式で $x=1$ 以外の解は絶対値が $1$ 未満だから)。$C_n=6$ で $n\to \infty$ とすると、$6$ 個の項がすべて $L$ に近づき $$(6+5+4+3+2+1)L=21L=6⟹L=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}.$$ したがって $\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\frac{2}{7}$。

まとめ 確率を『直前の状態からの推移』とみて過去6項の平均の漸化式に翻訳。重み $6,5,4,3,2,1$ の和が不変(=6)という保存量を見つけると、極限が $21L=6$ から $\frac{2}{7}$ と一発で決まる。$1$ 歩あたり平均 $\frac{7}{2}$ 進むことの逆数、という更新の直感とも一致する。

発展 — 一歩先へ。 $1$ 歩の平均が $\mu$ の試行(目の出方が偏っていてもよい)でも、同じ議論で $p_n\to \frac{1}{\mu }$ となることが知られている(更新定理)。サイコロなら $\mu =\frac{7}{2}$ で $\frac{2}{7}$。「よく進むものほど、特定の点は踏みにくい」という関係が一般に成り立つ。

別解

別解 — 「踏んだ整数の個数」で極限を読む(得意な人向けの高い視点)。 $1$ から $N$ までの整数のうち、和が途中で踏むものの個数を数えてみる。

和は $1$ 投ごとに新しい値を $1$ 個ずつ刻む。だから $N$ 以下で踏む個数は「和が $N$ を超えるまでの投球数」にほぼ等しい。$1$ 投で平均 $\frac{7}{2}$ 進むから、この投球数はおよそ $\frac{2N}{7}$。

一方、踏む個数の期待値はちょうど $p_1+p_2+\cdots +p_N$ である($n$ を踏むごとに $1$ を数える)。よって

$$\frac{p_1+p_2+\cdots +p_N}{N}⟶\frac{2}{7}.$$

つまり $p_n$ の“平均”は $\frac{2}{7}$ に向かう。本解のように $p_n$ 自身の収束を認めれば、その極限は平均の極限と一致して $\frac{2}{7}$ と決まる。保存量 $C_n=6$ は、この平均の議論を $1$ 本の等式に圧縮したものと見ることもできる。