非復元抽出と条件付き確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 戻さない(非復元)ので、2回目の確率は1回目の結果に左右される。

(2)の「2回目が赤」は、1回目が赤の場合と白の場合に分けて足す。計算すると(1)と同じ $\frac{5}{8}$ になる。これは偶然ではなく、「何回目でも赤の出る確率は同じ」という公平性の表れだ。

(3)は条件付き確率。「2回目が赤」の世界に立って、その中で「1回目も赤」の割合を測る。分母が変わるのが条件付きの本質である。

(1) 8個中赤は5個なので

$$\frac{5}{8}$$

(2) 2回目が赤になるのは、次の2つに分かれる(同時には起きない)。

• 1回目赤・2回目赤: $\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}$
• 1回目白・2回目赤: $\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{15}{56}$

足して

$$\frac{20}{56}+\frac{15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}$$

(1)と同じ $\frac{5}{8}$ になった。取り出す順番によらず赤の出る確率が同じなのは、くじ引きの公平さと同じ理屈だ。

(3) 『2回目が赤』という条件のもとで『1回目も赤』の確率を求める。条件付き確率なので、分母を『2回目が赤』にする。

$$P(\text{1回目赤}\mid \text{2回目赤})=\frac{P(\text{両方赤})}{P(\text{2回目赤})}=\frac{\frac{20}{56}}{\frac{5}{8}}=\frac{20}{56}\times \frac{8}{5}=\frac{160}{280}=\frac{4}{7}$$

まとめ:(3)は『結果(2回目赤)から原因(1回目赤)をさかのぼる』条件付き確率だ。分子は『両方赤』、分母は『2回目赤』。分母を(2)で求めた $\frac{5}{8}$ に取りかえるのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 「何回目に引いても確率は同じ」は、くじ引きの公平性として次の問題でも主役になる。玉やくじを1列に並べて「位置の対等さ」で見る目は、計算を大幅に省く技術だ。

(3)のような「結果から原因をさかのぼる」条件付き確率は、ベイズの定理として応用問題で本格化する。検査と病気、迷惑メールの判定など、現実の推論の数学的な骨格である。

別解

(3)は、対称性で一撃で出す見方がある。

「2回目が赤」と分かったとする。このとき1回目に引いた玉は、残りの7個(赤4個、白3個)のどれかであり、しかもどの玉も同じ確からしさで1回目に来る(玉の立場はすべて対等だからだ)。

だから、1回目が赤である条件付き確率は

$$\frac{4}{7}$$

定義式 $\frac{P(\text{両方赤})}{P(\text{2回目赤})}$ で計算した値と一致する。

「1個抜けた世界で残りは対等」という見方は、時間の順序(1回目→2回目)と確率の条件の向き(2回目→1回目)が逆でも使えるところが面白い。条件付き確率は時間をさかのぼれる、という感覚の入り口だ。