数学A / 確率

表が出た硬貨を取り除く操作

最難関編独立視点の転換

問題

$n$ 枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨をすべて取り除く。硬貨が残っていれば、残った硬貨をすべて同時に投げ、表が出たものを取り除く。この操作を繰り返す。

(1) 2回目までの操作で硬貨がすべて取り除かれる確率を求めよ。

(2) ちょうど2回目の操作で初めて硬貨がすべて取り除かれる確率を求めよ。また、 $n = 3$ のときのその値を求めよ。

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残り枚数で場合分けを始めると計算が膨らむ。1枚の硬貨だけ見つめると、その1枚の運命は他の硬貨と無関係に決まっていないか。「全部なくなる」を1枚ごとの条件の積に直せると景色が変わる。

解答・解説

「1回目で何枚残るか」で場合分けすると二項係数の和になって重い。硬貨1枚に注目すると、その1枚が取り除かれるかどうかは自分の表裏だけで決まり、他の硬貨と独立。「全部なくなる」を1枚ごとの条件の積に直す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「1回目で $k$ 枚取り除かれ、2回目で残り $n - k$ 枚が全部取り除かれる」と枚数で場合分けすると、二項係数の和が出てきて重たい。

視点を変えて、硬貨1枚の身の上を追う。ある硬貨は、1回目に表なら消える。裏なら(自分が残っているから2回目は必ず行われ)2回目を投げ、表なら消える。つまり、その硬貨が2回以内に消えるかどうかは自分の表裏だけで決まり、他の硬貨と独立だ。

「全部なくなる」=「どの1枚も消える」。だから1枚の確率の $n$ 乗で済む。

重要独立なら「すべてが〜」の確率は1枚ごとの確率の積。「ちょうど2回目で初めて」は「2回以内」−「1回以内」の差で取り出す

① 1枚の硬貨が2回以内に消える確率。 1回目に表( $\frac{1}{2}$ )、または1回目裏かつ2回目表( $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ )。よって

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

② (1) の答え。 $n$ 枚の表裏は互いに独立だから

$P (2 回以内に全部なくなる) = (\frac{3}{4})^{n}$

③ (2) ちょうど2回目の確率。 「ちょうど2回目で初めて全部なくなる」=「2回以内になくなる」から「1回目でなくなる(全部表: $(\frac{1}{2})^{n}$ )」を除いたもの。

$P = (\frac{3}{4})^{n} - (\frac{1}{2})^{n}$

$n = 3$ のとき

$\frac{27}{64} - \frac{8}{64} = \frac{19}{64}$

まとめ: 全体を枚数で追わず、1枚ずつの独立な運命の積に分解する。「ちょうど $k$ 回目」は累積(〜回以内)の差で取り出す。2つの型の合わせ技になっている。

発展 — 一歩先へ。 同じ分解で、 $r$ 回以内に全部なくなる確率は $(1 - \frac{1}{2 ^{r}})^{n}$ 、ちょうど $r$ 回目は隣どうしの差になる。1枚あたりの生存確率が半減していく構造が、そのまま式の形に写っている。

答

(1) $(\frac{3}{4})^{n}$ (2) $(\frac{3}{4})^{n} - (\frac{1}{2})^{n}$ ( $n = 3$ のとき $\frac{19}{64}$ )

枚数の場合分けを、二項定理で畳む(重い道の救済)。 「1回目で $k$ 枚消える」場合分けを本当に実行しても、実はきれいに閉じる。

1回目に表が $k$ 枚出る確率は $_{n} C_{k} (\frac{1}{2})^{n}$ 。続いて残り $n - k$ 枚が2回目で全部表になる確率は $(\frac{1}{2})^{n - k}$ 。よって2回以内に全部なくなる確率は

$k = 0 \sum n_{n} C_{k} (\frac{1}{2})^{n} (\frac{1}{2})^{n - k} = (\frac{1}{2})^{n} k = 0 \sum n_{n} C_{k} (\frac{1}{2})^{n - k}$

定理二項定理

\sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} x^{n - k} = (1 + x)^{n}

$x = \frac{1}{2}$ として、和は $(1 + \frac{1}{2})^{n} = (\frac{3}{2})^{n}$ 。よって

$(\frac{1}{2})^{n} (\frac{3}{2})^{n} = (\frac{3}{4})^{n}$

本解と一致した。1枚ごとの独立性(本解)は、この二項係数の和を「展開する前の積の形」で先に見抜いたことに当たる。重い道も、二項定理という畳み方を知っていれば歩き切れる。

硬貨1枚が2回以内に消える確率は $\frac{3}{4}$ 。
独立性から全体は積: $(\frac{3}{4})^{n}$ 。
ちょうど2回目 = $(\frac{3}{4})^{n} - (\frac{1}{2})^{n}$ ( $n = 3$ で $\frac{19}{64}$ )。