原因の確率(ベイズの考え方)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「不良品だった」という結果から、原因(どちらの機械か)をさかのぼる。時間の流れと逆向きの確率だ。

条件付き確率の定義に戻る。分母は「不良品になるすべてのルート」($A$ 経由と $B$ 経由)。分子は「$A$ 経由」だ。

ルートの合流として図式化するのが発想の核になる。

求めるのは、不良品だったという条件のもとで、機械 A 製である確率 $P(A\mid \text{不良})$ だ。条件付き確率なので

$$P(A\mid \text{不良})=\frac{P(A\cap \text{不良})}{P(\text{不良})}$$

分子(A で作られ、かつ不良): $0.6\times 0.03=0.018$

分母(不良品全体): 不良品には A 由来と B 由来があるので、両方を足す。

$$P(\text{不良})=0.6\times 0.03+0.4\times 0.05=0.018+0.020=0.038$$

だから

$$P(A\mid \text{不良})=\frac{0.018}{0.038}=\frac{18}{38}=\frac{9}{19}$$

まとめ:もとの生産の割合は A が60%と多いが、不良品にしぼると A 由来の割合は $\frac{9}{19}\fallingdotseq 0.47$ と半分以下に下がる。これは B のほうが不良率が高いためで、『不良品』という情報が原因の確率を書きかえたことを表す。原因の確率では、分母に『結果が起こる全部の道すじ』を漏らさず足すのが、いちばん大事だ。

発展 — 一歩先へ。 この更新は「オッズ($2$ つの確率の比)」で見ると、もっと軽い。

はじめ $A,B$ の生産比は $60:40=3:2$。これが事前のオッズだ。ここへ、不良の起こりやすさの比 $3\%:5\%=3:5$(尤度比)を、対応する側どうしでかける。

$3\times 3:2\times 5=9:10$ が、不良と分かった後のオッズになる。だから $A$ である確率は $\frac{9}{9+10}=\frac{9}{19}$。

「事前オッズ $\times$ 尤度比 $=$ 事後オッズ」。これがベイズの更新のいちばん素早い形で、証拠が増えるたびに尤度比をかけ足していけばよい。

別解

別解 — 実際の個数で数える(苦手な人向けの自然頻度ルート)。 割合のままだと分かりにくいので、製品を具体的に $10000$ 個そろえたと考える。

機械 $A$ 製は $60\%$ だから $6000$ 個。そのうち不良は $3\%$ で $180$ 個。

機械 $B$ 製は $40\%$ だから $4000$ 個。そのうち不良は $5\%$ で $200$ 個。

不良品は全部で $180+200=380$ 個。この $380$ 個のうち、$A$ 製は $180$ 個だ。

$$\frac{180}{380}=\frac{9}{19}.$$

条件付き確率の公式を使わなくても、「不良品の山の中で $A$ 製が占める割合」を数えるだけで出る。本解と同じ答えになる。