数学A / 確率

独立な試行の確率(くじ)

★ 基礎独立試行

問題

当たりくじを引く確率が $\frac{1}{4}$ の袋 A と、当たりくじを引く確率が $\frac{1}{3}$ の袋 B がある。A, B からそれぞれ1本ずつくじを引く。

(1) 両方とも当たる確率を求めよ。

(2) 少なくとも一方が当たる確率を求めよ。

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$A$ と $B$ は互いに影響しない(独立)。(1)両方当たりは、それぞれの当たる確率をかける。(2)『少なくとも一方』は反対の『両方はずれ』を $1$ から引く。

解答・解説

方針

袋Aを引くことと袋Bを引くことは、おたがいに影響しない(独立)。

独立な2つが両方起こる確率は、それぞれの確率をかければよい。

(1)は『両方当たる』のかけ算。(2)の『少なくとも一方』は、反対の『両方はずれる』を使うとラクだ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 袋 $A$ と袋 $B$ は別々の袋だ。 $A$ で当たろうがはずれようが、 $B$ の当たる確率 $\frac{1}{3}$ は変わらない。

互いに影響しない — これを独立という。独立な試行が両方起こる確率は、掛ければよい。

$P (両方当たる) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

(2)の「少なくとも一方」は、反対を考える。反対は「両方ともはずれ」で、これは $1$ つのシナリオだけだ。

$P = 1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$

「少なくとも」を見たら余事象。 サイコロのときと、まったく同じ合言葉である。 $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$ と足すのは誤り — それでは「両方当たる」場合を二重に数えてしまう。

公式独立な試行:

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

(たがいに影響しないときだけ)

袋Aと袋Bは独立だ(一方の結果がもう一方に影響しない)。Aが当たる確率は $\frac{1}{4}$ 、はずれる確率は $\frac{3}{4}$ 。Bが当たる確率は $\frac{1}{3}$ 、はずれる確率は $\frac{2}{3}$ 。

(1) 両方とも当たるのは、独立な2つが同時に起こる場合なので、確率をかけて

$\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

(2) 「少なくとも一方が当たる」の反対は「両方ともはずれる」だ。両方はずれる確率は

$\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

だから求める確率は

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

まとめ:『少なくとも一方』を『当たり×はずれ』『はずれ×当たり』『当たり×当たり』の3つに分けて足しても同じだが、反対の『両方はずれ』は1回のかけ算で済む。独立 + 少なくとも、の組合せは反対を使うのが定番だ。

発展 — 一歩先へ。 「独立だから掛ける」— この一言を、もう少し正確に見ておきたい。

独立とは、 $A$ の結果を知っても $B$ の確率が変わらないことである。式で書けば

$P (B ∣ A) = P (B)$

( $P (B ∣ A)$ は「 $A$ が起きたとき $B$ が起きる確率」。次に学ぶ条件付き確率だ。)これと乗法定理 $P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)$ を合わせると

$P (A \cap B) = P (A) P (B)$

独立のときだけ、単純な掛け算が許される。

では独立でない場合は? たとえば同じ袋から $2$ 本続けて引くとき、 $1$ 本目に当たりが出れば、 $2$ 本目の当たる確率は下がる。このときは $P (B ∣ A) \neq = P (B)$ で、掛け算の相手が変わる — これが次に学ぶ「くじ引きの非復元」の話だ。

「別々の袋か、同じ袋か」 — たったこれだけの違いで、使う公式が変わる。問題文の設定を読むとき、 $2$ つの試行が互いに影響し合うかどうかを、必ず確かめる。 確率の公式選びは、ここで決まる。

答

(1) $\frac{1}{12}$ (2) $\frac{1}{2}$

別解

起こりうる場合を全部書き出して、表にする。 $2$ つの袋なら $4$ 通りしかない。この表を作れば、どんな問われ方をされても答えられる。

$A$ が当たる確率は $\frac{1}{4}$ 、はずれる確率は $\frac{3}{4}$ 。 $B$ が当たる確率は $\frac{1}{3}$ 、はずれる確率は $\frac{2}{3}$ 。独立だから、 $4$ つのマスはすべて掛け算で出る。

	$B$ 当たり( $\frac{1}{3}$ )	$B$ はずれ( $\frac{2}{3}$ )
$A$ 当たり( $\frac{1}{4}$ )	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$	$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$
$A$ はずれ( $\frac{3}{4}$ )	$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$	$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

まず検算。 $4$ つのマスを全部足すと

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2 + 3 + 6}{12} = \frac{12}{12} = 1$

ぴったり $1$ ✓。表が正しく埋まっている証拠だ。

(1) 両方当たるは、左上のマスをそのまま読む。

$\frac{1}{12}$

(2) 少なくとも一方が当たるは、右下(両方はずれ)以外の $3$ マスを足す。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 2 + 3}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

余事象で出した答えと一致 ✓。 $1$ から右下の $\frac{1}{2}$ を引いても同じ — これが「余事象で解く」ということの、表の上での意味である。

なぜ $\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12}$ が誤りなのか、表を見れば一目瞭然だ。 「 $A$ が当たる」は上の行( $\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4}$ )、「 $B$ が当たる」は左の列( $\frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$ )。この $2$ つを足すと、左上のマス( $\frac{1}{12}$ )を $2$ 回数えてしまう。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{3 + 4 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

重なりを引けば、ちゃんと合う ✓。これが $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ の正体だ。

表を描けば、足し算・引き算・掛け算の関係がすべて見える。 $2$ 事象の確率で迷ったら、 $4$ マスの表に戻ればよい。

ポイント

独立な2つが両方起こる確率は、それぞれの確率のかけ算
「少なくとも一方」→ 反対の「両方とも起こらない」
当たり・はずれの確率を、最初に整理しておく

よくある間違い

独立でない試行(戻さない抽選など)にまで、かけ算の公式を使ってしまう
(2)を $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$ と、そのまま足してしまう
はずれの確率を $1$ から引き忘れる( $A$ のはずれは $\frac{3}{4}$ 、 $B$ は $\frac{2}{3}$ )