数学A / 確率

3個のサイコロの最大値

★★★ 応用確率の定義最大値

問題

3個のサイコロを同時に投げる。出た目の最大値がちょうど 4 である確率を求めよ。

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『最大値がちょうど4』=『3個とも4以下』−『3個とも3以下』。それぞれ独立なのでかけ算で確率を出し、差をとる。

解答・解説

『最大値がちょうど4』を直接数えるのは難しいが、『最大値が4以下』と『最大値が3以下』の差でとらえると、一気にラクになる。

最大値が4以下 ⇔ 3個とも4以下、最大値が3以下 ⇔ 3個とも3以下。この2つはどちらも、各サイコロが別々に条件を満たすので簡単に計算できる。その差が『ちょうど4』だ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「最大値がちょうど $4$ 」は、「全部 $4$ 以下」から「全部 $3$ 以下」を引いた差だ。

$2$ 個のサイコロで使った差分の発想を、そのまま $3$ 個で使う。

「ちょうど」を「以下の差」に置き換える翻訳が、身についているかを試す問題だ。

重要最大値がちょうど

k

= (すべて

k

以下)−(すべて

k - 1

以下)

『最大値がちょうど4』を、『最大値が4以下』から『最大値が3以下』を引く形でとらえる。

『最大値が4以下』は、3個のサイコロがすべて4以下( $1, 2, 3, 4$ のどれか)の場合だから

$(\frac{4}{6})^{3} = \frac{64}{216}$

『最大値が3以下』は、3個ともすべて3以下( $1, 2, 3$ )の場合で

$(\frac{3}{6})^{3} = \frac{27}{216}$

『最大値がちょうど4』は、4以下ではあるが3以下ではない(=少なくとも1個は4)場合なので、差をとって

$\frac{64}{216} - \frac{27}{216} = \frac{37}{216}$

まとめ:『ちょうど $k$ 』を『 $k$ 以下 $-$ $(k - 1)$ 以下』の差にする考えは、最大値・最小値の確率を扱うときの万能の手だ。直接『少なくとも1個が4で、残りは4以下』と数えると重複が出やすいが、差でとらえれば重複の心配がない。

発展 — 一歩先へ。 「以下の差」は、累積分布の差で確率を取り出す操作だ。 $n$ 個のサイコロなら、最大値がちょうど $k$ になる確率は $\frac{k ^{n} - ( k - 1 ) ^{n}}{6 ^{n}}$ と書ける。

この形のうまさは、 $k = 1$ から $6$ まで足すと途中が次々に消えて( $k^{n}$ と $(k - 1)^{n}$ が打ち消し合って)、 $\frac{6 ^{n}}{6 ^{n}} = 1$ になることだ。確率の合計が $1$ になることが、式の上で自動的に保証される。

標本の最大値・最小値・中央値などの分布(順序統計量)は、どれもこの「累積で読み替えて差をとる」手法で系統的に求められる。

答

$\frac{37}{216}$

別解 — $4$ の個数で場合分けして直接数える(苦手な人向けの数え上げ)。 「最大値がちょうど $4$ 」は、「 $4$ を少なくとも $1$ 個含み、残りは $4$ 以下」だ。重複を出さないため、 $4$ がちょうど何個かで排反に分ける。

$4$ がちょうど $3$ 個: $1$ 通り。
$4$ がちょうど $2$ 個: どの $2$ 個が $4$ かで $_{3} C_{2} = 3$ 通り、残り $1$ 個は ${1, 2, 3}$ の $3$ 通りで $3 \times 3 = 9$ 通り。
$4$ がちょうど $1$ 個: どの $1$ 個が $4$ かで $_{3} C_{1} = 3$ 通り、残り $2$ 個は ${1, 2, 3}$ の $3^{2} = 9$ 通りで $3 \times 9 = 27$ 通り。

合わせて $1 + 9 + 27 = 37$ 通り。全体は $6^{3} = 216$ 通りだから

$P = \frac{37}{216} .$

「以下の差」を使わなくても、 $4$ の個数で排反に分ければ重複なく数えられる。本解と同じ答えだ。

「少なくとも $1$ 個が $4$ 」と「残りは $4$ 以下」を掛けて、 $4$ が複数個の場合を重複して数える。
「 $4$ 以下」の $(\frac{4}{6})^{3}$ から「 $3$ 以下」の $(\frac{3}{6})^{3}$ を引き忘れ、 $\frac{64}{216}$ のまま答える。
「ちょうど $4$ 」を「 $4$ 以上」と取り違え、最大値が $5, 6$ の場合まで含めてしまう。