出た目の種類の数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 全体は $6^4$ 通り。「出た目の種類の数」で場合分けする。

(1) $1$ 種類(すべて同じ)は、その目が $6$ 通り。確率 $\frac{6}{6^4}=\frac{1}{216}$。

(2) ちょうど $2$ 種類が急所。まず「どの $2$ 種類を使うか」を選ぶ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)$ 通り)。次に $4$ 回の出目をその $2$ 種類に割り振る($2^4$ 通り)。ただし割り振りの中には「実は $1$ 種類しか使っていない」($2$ 通り)が混ざるので、それを引く。$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)(2^4-2)$ を全体で割る。

① 全体を確認する。 $4$ 回の出目の列は $6^4=1296$ 通りで、どれも等確率。

② (1) $1$ 種類だけ。 どの目でそろえるかの $6$ 通りしかない。

$$P=\frac{6}{1296}=\frac{1}{216}$$

③ (2) ちょうど $2$ 種類 — 「選んでから割り振り、はみ出しを引く」。 使う $2$ 種類の選び方は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 通り。選んだ $2$ 種類(たとえば $\{1,2\}$)への $4$ 回の割り振りは $2^4=16$ 通りだが、このうち「全部 $1$」「全部 $2$」の $2$ 通りは実際には $1$ 種類しか使っておらず、「ちょうど $2$ 種類」にならない。よって $1$ 組あたり $2^4-2=14$ 通り。

$$P=\frac{15\times 14}{1296}=\frac{210}{1296}=\frac{35}{216}$$

なぜ先に $2$ 種類を固定するかというと、「ちょうど」の条件を(全部で $2^4$ 通りという)小さい世界の中で処理できるからだ。

まとめ:「ちょうど $k$ 種類」は、種類の選択 → 割り振り → 種類が減ってしまう場合の除外、の $3$ 段で数える。$2$ 種類なら引くのは $2$ 通りだけだが、$3$ 種類になると包除原理($3^4-3\cdot 2^4+3$)が必要になる — その入り口にあたる問題である。

発展 — 一歩先へ。 「$n$ 回投げてちょうど $k$ 種類」は、$k$ 種類への全射の数 $=\sum _{j=0}^k(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(k-j{)}^n$(包除)で数え、それに種類の選び方 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k}\right)$ を掛ける。$k=2$ で $2^4-2=14$ はその最小例。第 $2$ 種スターリング数 $S(n,k)$ を使えば、$3$ 種類・$4$ 種類でも同じ枠組みで一気に求まる。

別解

別解 — 全射の数(スターリング数)で捉える(得意な人向けの視点)。 「$4$ 回の出目がちょうど $2$ 種類」は、「$4$ 回を $2$ 種類の目に“余りなく”割り振る」= $\{1,2,3,4\}$ 回目から $2$ 種類への全射の数で数える。

$2$ 種類 $\{A,B\}$ への全射(両方を必ず使う割り振り)の数は、全 $2^4$ 通りから「$A$ だけ」「$B$ だけ」の $2$ 通りを引いて $2^4-2=14$ 通り。

どの $2$ 種類の目を使うかは $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 通り。掛けて

$$15\times 14=210\text{通り},\frac{210}{6^4}=\frac{210}{1296}=\frac{35}{216}.$$

「割り振りから $1$ 種類の場合を引く」本解と同じ $14$ だが、これは全射の数(第 $2$ 種スターリング数 $S(4,2)=7$ の $2!$ 倍)。「$n$ 回を $k$ 種類にちょうど使う」は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k}\right)\times k!S(n,k)$ で数えられ、$3$ 種類・$4$ 種類でも同じ枠組みで求まる。