数学A / 確率

3人のじゃんけん

★★ 標準じゃんけん

問題

3人が1回じゃんけんをする。グー・チョキ・パーは、それぞれ同じ確率 $\frac{1}{3}$ で出すものとする。

(1) あいこになる確率を求めよ。

(2) ちょうど1人だけが勝つ確率を求めよ。

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全体は各自3通りで $3^{3}$ 。あいこは『全員同じ手』と『3人が3種類バラバラ』の2パターン。1人勝ちは『勝つ人の選び方 × 勝つ手の選び方』。場合を丁寧に数える。

解答・解説

3人の手の出し方は $3^{3} = 27$ 通りで、これらは同じくらい起こる。

勝ち負けは『出ている手の種類』で決まる。1種類だけ(全員同じ)か、3種類すべて出るとあいこ。2種類だけ出ると勝負が決まる。

この分け方で場合の数を数える。『誰が』『どの手で』勝つかを取り違えないよう、ていねいに数えよう。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3人の手の出し方は $3^{3} = 27$ 通り。これらが同様に確からしい。

勝ち負けは「出ている手の種類数」で決まる。1種類(全員同じ)か3種類(全部出る)ならあいこ。2種類のときだけ勝負がつく。

この分類を軸に数える。「誰が」「どの手で」を混同しないよう、勝者と手を順に指定して数えるのがこつだ。

3人の手の出し方は $3^{3} = 27$ 通り。

(1) あいこ になるのは、次の2パターン。

あいこは $3 + 6 = 9$ 通りなので

$\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

(2) ちょうど1人が勝つ のは、2種類の手が出て、勝つ手を出したのが1人の場合。勝つ人の選び方が3通り、その人が出す手(勝つ手)が3通り、残り2人はその手に負ける手(1種類に決まる)。

$3 \times 3 = 9 (通り)$

だから

$\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

まとめ:(残る『2人が勝つ』も同じように9通りで $\frac{1}{3}$ 。あいこ・1人勝ち・2人勝ちが、それぞれ $\frac{1}{3}$ ずつになる。)『2種類の手が出れば必ず勝負がつく』こと、そのとき勝つ手は一方に決まることを押さえると数えやすい。

発展 — 一歩先へ。 「あいこ・1人勝ち・2人勝ちが同確率 $\frac{1}{3}$ ずつ」という美しい三等分は、3人のときだけの現象だ。人数が増えると、あいこの確率がどんどん大きくなる(4人では2種類の手の分け方が複雑になり、あいこ側が優勢になる)。

「 $n$ 人でちょうど $k$ 人勝つ」「あいこが続く回数の期待値」など、じゃんけんは反復試行・期待値と組み合わせた応用問題の宝庫である。

答

(1) $\frac{1}{3}$ (2) $\frac{1}{3}$

(1)は補集合から攻めることもできる。「あいこ=勝負がつかない」だから、勝負がつく場合を数えて引くのだ。

勝負がつくのは、勝者が1人か2人のとき。

勝負がつくのは $18$ 通り。だから、あいこは $27 - 18 = 9$ 通りで $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ 。

面白いことに、「あいこ・1人勝ち・2人勝ち」がちょうど $9, 9, 9$ 通りの三等分になっている。3人じゃんけんの結果は、3つとも同じ確率 $\frac{1}{3}$ なのだ。