カードを3枚選ぶ確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $9$ 枚から $3$ 枚を選ぶ。順番は関係ないので組合せだ。

$$(\text{全事象})={}_9{\mathrm{C}}_3=84$$

$1$ から $9$ のうち奇数は $1,3,5,7,9$ の $5$ 個、偶数は $2,4,6,8$ の $4$ 個。まずこれを確認しておく。

(1)は「$3$ 枚とも奇数」— 奇数 $5$ 個から $3$ 個選ぶだけ。

(2)の「少なくとも $1$ 枚は偶数」は、反対を考えるのが定跡。反対は「偶数が $1$ 枚もない $=$ $3$ 枚とも奇数」で、これは(1)そのものだ。

$$P(\text{少なくとも 1 枚偶数})=1-P(\text{3 枚とも奇数})$$

(1)を計算した瞬間に、(2)はもう解けている。 問題の作りに気づけるかが分かれ目である。

9枚から3枚を選ぶ方法は ${}_9{\mathrm{C}}_3=84$ 通り。奇数は5枚、偶数は4枚ある。

(1) 3枚とも奇数なのは、奇数5枚から3枚を選ぶ場合で ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ 通り。

$$\frac{{}_5{\mathrm{C}}_3}{{}_9{\mathrm{C}}_3}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}$$

(2) 「少なくとも1枚は偶数」の反対は「1枚も偶数でない = 3枚とも奇数」で、これは(1)で求めた確率そのものだ。だから

$$1-\frac{5}{42}=\frac{42-5}{42}=\frac{37}{42}$$

(1)を計算した時点で、(2)の反対がもう手元にある、という形だ。『少なくとも1枚◯◯』と『1枚も◯◯でない(全部△△)』は必ず反対どうしになるので、セットで考えるとラクだ。

発展 — 一歩先へ。 (1)の答え $\frac{5}{42}\approx 0.12$ は、直感より小さいと感じないだろうか。「奇数のほうが $1$ 個多いのに、$3$ 枚とも奇数になるのは $8$ 回に $1$ 回程度」なのだ。

理由は、引くたびに奇数が減っていくからである。$1$ 枚目は $\frac{5}{9}\approx 0.56$ と有利だが、$2$ 枚目は $\frac{4}{8}=0.5$、$3$ 枚目は $\frac{3}{7}\approx 0.43$ と、回を追うごとに不利になる。連続して成功し続けるのは、思ったより難しい。

この「掛け算で目減りしていく」感覚は、確率を扱ううえで欠かせない。 各回の確率が $0.5$ 前後でも、$3$ 回連続なら $0.12$、$5$ 回連続なら $0.03$ 程度になる。

「$1$ つ $1$ つは五分五分なのだから、全部うまくいくだろう」— この楽観が、計画を狂わせる。$5$ つの工程がそれぞれ $90\%$ の確率で成功するプロジェクトでも、全部成功する確率は $0.9^5\approx 0.59$。$4$ 割は、どこかでつまずくのだ。

確率は掛け算で減る。 単純だが、直感が最も裏切られる場所である。

別解

$2$ つの別ルートを見せる。ひとつは「$1$ 枚ずつ引く」という見方、もうひとつは(2)を正面から数える検算だ。

別ルート1: (1)を「$1$ 枚ずつ引く」と考える。

「同時に $3$ 枚」を「$1$ 枚ずつ $3$ 回引く」と読みかえても、確率は同じである。

• $1$ 枚目が奇数: $9$ 枚中 $5$ 枚が奇数だから $\frac{5}{9}$
• $2$ 枚目も奇数: 残り $8$ 枚中、奇数は $4$ 枚 → $\frac{4}{8}$
• $3$ 枚目も奇数: 残り $7$ 枚中、奇数は $3$ 枚 → $\frac{3}{7}$

$$\frac{5}{9}\times \frac{4}{8}\times \frac{3}{7}=\frac{60}{504}=\frac{5}{42}$$

組合せで出した $\frac{5}{42}$ と一致 ✓。分子の $5\times 4\times 3$ と分母の $9\times 8\times 7$ は、まさに ${}_5{\mathrm{P}}_3$ と ${}_9{\mathrm{P}}_3$ — 組合せの式を約分する前の姿が現れている。

別ルート2: (2)を正面から数える(検算)。

「少なくとも $1$ 枚は偶数」を、偶数の枚数で場合分けして直接足してみる。

• 偶数 $1$ 枚・奇数 $2$ 枚: ${}_4{\mathrm{C}}_1\times {}_5{\mathrm{C}}_2=4\times 10=40$
• 偶数 $2$ 枚・奇数 $1$ 枚: ${}_4{\mathrm{C}}_2\times {}_5{\mathrm{C}}_1=6\times 5=30$
• 偶数 $3$ 枚: ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$

$$\frac{40+30+4}{84}=\frac{74}{84}=\frac{37}{42}$$

余事象で出した $\frac{37}{42}$ と一致した ✓。

しかし、手間を比べてほしい。 余事象なら $1-\frac{5}{42}$ の引き算 $1$ 回。正面からだと $3$ つの場合を数えて足すことになる。答えは同じでも、時間と、間違える危険はまるで違う。

さらに、この $2$ ルートは検算として最高の相棒になる。$3$ 枚の内訳は「奇数 $3$ 枚」「偶数 $1$ 枚」「偶数 $2$ 枚」「偶数 $3$ 枚」の $4$ 通りしかない。全部足すと

$$\frac{10+40+30+4}{84}=\frac{84}{84}=1$$

ぴったり $1$ ✓。場合を全部数え上げたら、確率の合計は必ず $1$ — この確認をすれば、数え落としも重複も一発で見つかる。