3回の結果から原因を推定する(ベイズ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「赤・赤・白」という結果から、原因(どちらのつぼか)を推定する。これはベイズの発想だ。

「赤・赤・白」が起こる経路は $2$ 本だけ。「A を選んで赤赤白」と「B を選んで赤赤白」。玉を戻すので $3$ 回は独立で、各経路の確率は積で書ける。

• A 経路: $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}$。
• B 経路: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5}$。

求めるのは「結果が赤赤白だったとき A だった割合」= A 経路 $÷$($2$ 経路の和)。条件付き確率の定義そのものだ。

① 経路を書き出す。 結果を $D$=「赤・赤・白の順」とする。$D$ に至る経路は $2$ 本しかない。

② 各経路の確率を計算する。 玉は毎回戻すので、$3$ 回の取り出しは独立。A では赤の確率 $\frac{3}{5}$、白の確率 $\frac{2}{5}$ だから

$$P(\mathrm{A}\cap D)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{18}{250}=\frac{9}{125}$$

B では赤 $\frac{1}{5}$、白 $\frac{4}{5}$ だから

$$P(\mathrm{B}\cap D)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{250}=\frac{2}{125}$$

③ 条件付き確率にまとめる。 $P(D)=\frac{9}{125}+\frac{2}{125}=\frac{11}{125}$ なので

$$P(\mathrm{A}\mid D)=\frac{9/125}{11/125}=\frac{9}{11}$$

まとめ:結果(赤赤白)から原因(どちらのつぼか)をさかのぼる問題では、「原因ごとの経路の確率」をすべて並べ、その中で目的の経路が占める割合を取る。観測が $3$ 回に増えても、経路の確率が積になるだけで構造は $1$ 回のときと同じだ。最初は五分五分だった A の確率が、赤が多く出たことで $\frac{9}{11}$ まで上がった、と読むと意味がつかめる。

発展 — 一歩先へ。 ベイズの定理は「結果から原因の確率を更新する」道具。赤が出るたびに A(赤が多い)の確率が上がっていく。$1$ 回目の赤の後は $P(A)=\frac{3}{4}$、$2$ 回目でさらに上がり、白が $1$ 回出ても $\frac{9}{11}$ と高いまま。迷惑メールフィルタや医療診断など、「証拠を積んで確信を更新する」現代の推論の基礎である。

別解

別解 — 樹形図と“経路の重み”で目に見える形にする(苦手な人向け)。 起こりうることを樹形図で描く。まず A か B を選ぶ($\frac{1}{2}$ ずつ)。その先で赤赤白が出る。

各枝の確率(重み)を書き込む。

• A → 赤赤白: $\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{18}{250}$。
• B → 赤赤白: $\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{4}{250}$。

「赤赤白」が実際に起きたのだから、この $2$ 本の枝のどちらかを通ったはず。その中で A の枝を通った割合が答え。

$$\frac{18/250}{18/250+4/250}=\frac{18}{18+4}=\frac{18}{22}=\frac{9}{11}.$$

ベイズの公式(本解)を暗記しなくても、「起きた結果につながる枝の重みを比べる」だけで出る。分母の $250$ が約分で消えるので、実際は分子 $18$ と $4$ の比だけ見ればよい。赤が $2$ 回出た時点で A(赤が多い)がぐっと有利になる、という直感とも合う。