数学A / 確率

自分の番号を引く人数の期待値と分散(指示関数の融合)

実戦編確率期待値分散指示関数単元横断

問題

$1$ から $n$ までの番号札 $n$ 枚を無作為に一列に並べる( $n \geq 2$ )。左から $k$ 番目に番号 $k$ の札が来ることを「一致」とよび、一致の総数を $X$ とする。 $X$ の期待値 $E [X]$ と分散 $V [X]$ を求めよ。

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$k$ 番目が一致するかを $0/1$ の変数 $X_{k}$ で表すと $X = \sum X_{k}$ 。 $E [X_{k}]$ 、 $E [X_{k} X_{j}]$ ( $k \neq = j$ )をそれぞれ数え、和にまとめる。

解答・解説

方針

各位置の一致を指示関数 $X_{k}$ (一致なら $1$ )で表し、 $X = \sum X_{k}$ 。期待値は線形性、分散は $E [X^{2}]$ を $X_{k} X_{j}$ の和で計算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 一致の総数 $X$ の分布を直接求めるのは大変だ(完全順列が絡む)。

そこで見方を変える。各位置 $k$ に「一致なら $1$ 、違えば $0$ 」の変数 $X_{k}$ を置くと、 $X = X_{1} + \dots + X_{n}$ とただの和になる。

期待値は線形性でバラせて、 $E [X_{k}]$ は「 $k$ 番目に $k$ が来る確率」 $= \frac{1}{n}$ だけ。分散も $E [X^{2}]$ を積 $X_{k} X_{j}$ の和に開いて数えればよい。指示関数は「複雑な数え上げを足し算に変える」道具だ。

① 指示関数で表す。 $X_{k} = 1$ ( $k$ 番目が一致)、 $0$ (不一致)とすると $X = k = 1 \sum n X_{k}$ 。 $k$ 番目に $k$ が来る確率は $\frac{1}{n}$ だから $E [X_{k}] = \frac{1}{n}, E [X] = k = 1 \sum n E [X_{k}] = n \cdot \frac{1}{n} = 1.$ ② $E [X^{2}]$ を積の和で。 $X^{2} = (\sum_{k} X_{k})^{2} = \sum_{k} X_{k}^{2} + \sum_{k \neq = j} X_{k} X_{j}$ 。値は $0, 1$ なので $X_{k}^{2} = X_{k}$ 、ゆえに $E [\sum_{k} X_{k}^{2}] = E [X] = 1$ 。 $k \neq = j$ では $X_{k} X_{j} = 1$ となるのは「 $k$ 番目に $k$ かつ $j$ 番目に $j$ 」で、その確率は $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n - 1}$ 。組 $(k, j)$ は $n (n - 1)$ 通りだから $E [k \neq = j \sum X_{k} X_{j}] = n (n - 1) \cdot \frac{1}{n ( n - 1 )} = 1.$ よって $E [X^{2}] = 1 + 1 = 2$ 。 ③ 分散。 $V [X] = E [X^{2}] - (E [X])^{2} = 2 - 1^{2} = 1.$

重要指示関数の和

X = \sum X_{k}

では、

E [X] = \sum E [X_{k}]

(線形性)、

E [X^{2}] = \sum_{k} E [X_{k}] + \sum_{k \neq = j} E [X_{k} X_{j}]

まとめ 「一致の数」のように多数の条件の合計は、各条件を $0/1$ の指示関数にして足すと、期待値も分散も“数える”だけで出る。 $E [X] = 1$ 、 $V [X] = 1$ 。数え上げ(順列)と期待値・分散の融合で、完全順列を経由せず答えが出る。

発展 — 一歩先へ。 $n$ を大きくすると、 $X$ の分布は平均 $1$ のポアソン分布に近づくことが知られている。たとえば一致が $0$ 個の確率(完全順列の割合)は $\frac{1}{e} \approx 0.368$ に収束する。 $E [X] = V [X] = 1$ は、ポアソン分布の「平均 $=$ 分散」という性質の前触れである。

答

指示関数 $X = \sum X_{k}$ 。 $E [X] = n \cdot \frac{1}{n} = 1$ 。積の期待値を数え $E [X^{2}] = 2$ 、 $V [X] = 1$ 。

別解

別解 — $n = 3$ を全部書き出して構造をつかむ(苦手な人向け)。 札が $3$ 枚なら並べ方は $6$ 通りしかない。一致の数 $X$ を数え上げてみる。

$123$ は $X = 3$ / $132$ は $X = 1$ / $213$ は $X = 1$ / $321$ は $X = 1$ / $231$ は $X = 0$ / $312$ は $X = 0$

期待値は $E [X] = \frac{3 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0}{6} = 1$ 。 $X^{2}$ の平均は $E [X^{2}] = \frac{9 + 1 + 1 + 1}{6} = 2$ で、 $V [X] = 2 - 1^{2} = 1$ 。

たしかに $n = 3$ で $E [X] = V [X] = 1$ になった。本解の指示関数は、この数え上げを「どの $n$ でも同じ形」で一気に済ませる方法になっている。 $n$ を増やしても答えが $1$ から動かない不思議さは、一度手で確かめると納得できる。

ポイント

各位置の一致を指示関数 $X_{k}$ にして $X = \sum X_{k}$ と書く。
$E [X] = \sum E [X_{k}]$ (線形性)、 $X_{k}^{2} = X_{k}$ を使う。
$k \neq = j$ の積の確率は $\frac{1}{n ( n - 1 )}$ 、和で $E [X^{2}] = 2$ 、 $V [X] = 1$ 。

よくある間違い

$X_{k}$ どうしは独立でないのに $V [X] = \sum V [X_{k}]$ とする(積の項 $E [X_{k} X_{j}]$ を数えるのが正しい)。
$E [X_{k} X_{j}]$ ( $k \neq = j$ )を $\frac{1}{n ^{2}}$ とする。 $2$ か所が同時に一致する確率は $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n - 1}$ である。
$X$ の分布(完全順列の個数)を全部求めてから期待値を出そうとして時間切れになる。分布を知らずに $E, V$ が出るのが指示関数の強みだ。