数学A / 確率

反復試行(2回以上)

★★ 標準反復試行余事象

問題

1個のサイコロを5回投げる。1の目が2回以上出る確率を求めよ。

ヒントを見る

『2回以上』は該当が多い。反対の『0回』と『1回』だけ求めて、全体から引くほうが速い。余事象の使いどころ。

解答・解説

『2回以上』を正面から数えると、『ちょうど2回、3回、4回、5回』の4つを足すことになって大変だ。

そこで反対を数える。反対は『2回未満 = 0回または1回』のたった2つで済む。これを計算して1から引く。

反復試行で『以上・以下』が出たら、数の少ないほうを反対にとる、と覚えておこう。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「2回以上」を正面から数えると、「ちょうど2回・3回・4回・5回」の4つの足し算になって大変だ。

そこで反対を数える。反対は「2回未満=0回または1回」のたった2つで済む。これを計算して1から引く。

反復試行で「以上・以下」が出たら、数の少ない側を反対にとる。どちらが少ないかを最初に見比べるのが第一手だ。

公式「2回以上」= 1 −(0回)−(1回)。余事象+反復試行で処理する

『2回以上』の反対は『0回または1回』だ。反復試行の公式で、この2つを計算する。1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ 。

0回(5回とも1以外):

$(\frac{5}{6})^{5} = \frac{3125}{7776}$

ちょうど1回:

$_{5} C_{1} (\frac{1}{6})^{1} (\frac{5}{6})^{4} = 5 \times \frac{1}{6} \times \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776}$

求める確率は、この2つを1から引いて

$1 - \frac{3125}{7776} - \frac{3125}{7776} = \frac{7776 - 6250}{7776} = \frac{1526}{7776} = \frac{763}{3888}$

まとめ:『2回以上』を直接計算すると4つの項の足し算になるが、反対なら2つで済む。『◯回以上』を見たら、反対『◯回未満』の項が少ないほうを選ぶ、と手が決まる。最後の約分も忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 「 $n$ 回中 $k$ 回成功する確率」の並び $P (X = k)$ を全部まとめて見たものが、数学Bで学ぶ二項分布だ。今日の計算は、その分布の一部分を切り取っている。

「以上・以下は項数の少ない側から」という判断は、分布の裾を数える発想として、統計的な推測(棄却域の確率計算)でもそのまま使われる。

答

$\frac{763}{3888}$

力ずくの「直接ルート」も、一度は通っておく価値がある。ちょうど $2, 3, 4, 5$ 回の4つを足すのだ。

分母を $6^{5} = 7776$ にそろえて分子を数えると

$_{5} C_{2} \cdot 5^{3} +_{5} C_{3} \cdot 5^{2} +_{5} C_{4} \cdot 5 + 1 = 1250 + 250 + 25 + 1 = 1526$

$\frac{1526}{7776} = \frac{763}{3888}$ 。余事象ルートと同じ答えになる。

比べてみると、余事象は計算2項、直接は4項。この差が「少ない側を選ぶ」理由の実感になる。もし問題が「4回以上」なら直接が2項で速い。毎回、両側の項数を見比べて道を選べばよい。