格子上の点の移動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平面の移動も、数直線と同じ翻訳で落ちる。位置の条件を、回数の条件に変えるのだ。

$(4,2)$ に着くには、右(表)が $4$ 回、上(裏)が $2$ 回必要。合計 $6$ 回で、投げる回数とちょうど一致する。だからこの点に着ける。

あとは「表がちょうど4回」の反復試行だ。翻訳の連鎖「到達条件 → 回数の条件 → 反復試行」を、2次元でも同じように通す。

点 (4, 2) に着くには、右への動き(表)が4回、上への動き(裏)が2回必要だ。表4回 + 裏2回 = 6回で、投げる回数とちょうど一致するので、この場所に着ける。

6回中ちょうど4回表が出る確率は、反復試行より

$${}_6{\mathrm{C}}_4{\left(\frac{1}{2}\right)}^4{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=15\times \frac{1}{64}=\frac{15}{64}$$

${}_6{\mathrm{C}}_4=15$ は『6回のうちどの4回で表(右への動き)が出るか』の並び方で、これは原点から (4, 2) への最短経路の数と全く同じだ。点の移動の確率は『最短経路の数 × (各経路の確率)』とも見られる。各経路の確率は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6$ で共通だから、$15\times \frac{1}{64}$ となる。位置を回数に置きかえる考えは、直線でも平面でも同じように効く。

発展 — 一歩先へ。 場合の数で学んだ最短経路と、確率の反復試行が、同じ ${}_6{\mathrm{C}}_4$ で結ばれた。パスカルの三角形は「道順の数」の表であると同時に「確率分布の形」の表でもある。

表の確率が $\frac{1}{2}$ でないコインなら、道順の数は同じでも各道順の確率が変わり、山の頂上の位置がずれる。分布の頂上(最頻値)を探す問題は、この単元の別の問題で扱った「隣どうしの比」の出番になる。

別解

6回後の「行き先ぜんぶ」を一望すると、この問題の座標が見える。

6回後に P がいられる場所は、$x+y=6$ 上の7点 $(6,0),(5,1),\dots ,(0,6)$ だけ。それぞれへの道順の数は

$$1,6,15,20,15,6,1$$

これはパスカルの三角形の6段目そのものだ。合計は $64=2^6$ で、全部の列を過不足なく数えられている(これが検算になる)。

$(4,2)$ への道順は $15$ 通りだから、確率は $\frac{15}{64}$。

1点だけ見るのでなく分布ごと見ると、「真ん中の $(3,3)$ がいちばん行きやすく、端ほど行きにくい」という山の形も同時に手に入る。二項分布の形を、格子の上で目視したことになる。