最大値と最小値を同時に指定する確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「最大値が5」「最小値が2」は、$n$ 回全体を見ないと判定できない条件で、直接は数えにくい。一方「すべての目が◯以下」なら各回バラバラの条件だから、確率は累乗で書ける。

そこで求める事象を言い換える。「すべて2〜5」の中から、「5が一度も出ない」と「2が一度も出ない」を除いたものだ。

2つをそのまま引くと、両方欠ける場合(すべて3・4)を二重に引いてしまう。1回ぶん足し戻す。包除原理の出番だ。

① 土台を作る。 まず「すべての目が2〜5」となる確率は ${\left(\frac{4}{6}\right)}^n$。この中で

• $A$: 5が一度も出ない(すべて2〜4)… ${\left(\frac{3}{6}\right)}^n$
• $B$: 2が一度も出ない(すべて3〜5)… ${\left(\frac{3}{6}\right)}^n$
• $A\cap B$: どちらも出ない(すべて3・4)… ${\left(\frac{2}{6}\right)}^n$

求める事象は「すべて2〜5」のうち、$A$ にも $B$ にも入らない部分である。

② 包除原理で計算する。

$$P={\left(\frac{4}{6}\right)}^n-{\left(\frac{3}{6}\right)}^n-{\left(\frac{3}{6}\right)}^n+{\left(\frac{2}{6}\right)}^n=\frac{4^n-2\cdot 3^n+2^n}{6^n}$$

引きすぎた $A\cap B$ を1回足し戻すところが、包除原理そのものだ。

③ $n=3$ の値。

$$P=\frac{4^3-2\cdot 3^3+2^3}{6^3}=\frac{64-54+8}{216}=\frac{18}{216}=\frac{1}{12}$$

まとめ: 「ちょうど」の条件は、「以下・以上」(各回独立で累乗になる形)に翻訳する。最大・最小を同時に指定する事象は、2集合の包除原理のひな形として覚えておくと広く効く。

発展 — 一歩先へ。 一般に最大が $M$、最小が $m$ になる確率は、幅 $w=M-m$ を使って $\frac{(w+1{)}^n-2w^n+(w-1{)}^n}{6^n}$ と書ける。係数 $(1,-2,1)$ の並びは2階の差分。「ちょうど」を2方向で取り出すと、自然にこの形が現れる。

別解

累積の差でつくる(機械的ルート)。 ベン図を描かなくても、「ちょうど=累積の差」を2回使えば同じ式が組み立つ。

1段目。最小が2以上という条件の中で、「最大がちょうど5」を累積の差で取り出す:

$$P(\text{max}=5,\text{min}\ge 2)={\left(\frac{4}{6}\right)}^n-{\left(\frac{3}{6}\right)}^n$$

(すべて2〜5、からすべて2〜4を引いた。)

2段目。今度は「最小がちょうど2」を、最小2以上と最小3以上の差で取り出す:

$$P(\text{max}=5,\text{min}=2)=\left[{\left(\frac{4}{6}\right)}^n-{\left(\frac{3}{6}\right)}^n\right]-\left[{\left(\frac{3}{6}\right)}^n-{\left(\frac{2}{6}\right)}^n\right]$$

展開すれば本解と同じ $\frac{4^n-2\cdot 3^n+2^n}{6^n}$。

「ちょうど◯」は「◯以下 − (◯−1)以下」。この差分を最大と最小の2方向に1回ずつかける、という機械的な手順で、包除と同じ式に届く。条件が3つ4つに増えても、この差分方式はそのまま伸びる。