サイコロの目を係数とする3次方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 方程式が主役に見えるが、実体は数え上げの問題だ。整数解 $r$ があるとして、情報を搾り取る。

まず符号。$a,b,c\ge 1$ だから $x\ge 0$ では左辺は $c$ 以上で正。解は負に限る。

次に約数。$r(r^2+ar+b)=-c$ と変形すれば、$|r|$ は $c$ の約数。$c\le 6$ だから $r$ は $-1$ 〜 $-6$ の6候補しかない。

あとは候補ごとに「$r$ を解にもつ $(a,b,c)$」を1次の関係式で数え、複数の候補で二重に数えた組だけ補正すればよい。

① 候補を絞る。 $x\ge 0$ なら $x^3+a{x}^2+bx+c\ge c\ge 1>0$ だから、整数解 $r$ は負。$r^3+a{r}^2+br+c=0$ を $c=-r(r^2+ar+b)$ と見れば $r$ は $c$ の約数で、$1\le c\le 6$ より

$$r\in \{-1,-2,-3,-4,-5,-6\}$$

② 候補ごとに数える。 $r$ を代入すると $a,b,c$ の1次の関係式になる。

• $r=-1$: $-1+a-b+c=0$、つまり $b=a+c-1$。$1\le a+c-1\le 6$ ⟺ $a+c\le 7$ となる $(a,c)$ は21組($b$ は自動的に決まる)
• $r=-2$: $c=8-4a+2b$。$1\le c\le 6$ を満たすのは、$a=1$ で $b=1$、$a=2$ で $b=1,2,3$、$a=3$ で $b=3,4,5$、$a=4$ で $b=5,6$ の計9組
• $r=-3$: $c=27-9a+3b$。$a=3$ で $b=1,2$、$a=4$ で $b=4,5$ の計4組
• $r=-4$: $c=64-16a+4b$。$(a,b,c)=(4,1,4),(5,5,4)$ の2組
• $r=-5$: $c=125-25a+5b$。$(5,1,5),(6,6,5)$ の2組
• $r=-6$: $c=216-36a+6b$。$(6,1,6)$ の1組

③ 重複を補正する。 2つの候補で同時に数えられた組は、$r=-1$ と $r=-2$ を両方解にもつ $(a,b,c)=(4,5,2)$ だけ($x^3+4x^2+5x+2=(x+1{)}^2(x+2)$)。ほかの2候補の連立は、$a,b,c$ が1〜6の範囲を外れて解なし。よって

$$21+9+4+2+2+1-1=38\text{組}$$

④ 確率。 全体は $6^3=216$ 通りだから

$$P=\frac{38}{216}=\frac{19}{108}$$

まとめ: 「整数解をもつ」は、符号と約数の情報で候補を有限個に狩り込む → 候補ごとに1次の関係式で数える → 重複を補正する、の3段構え。方程式の見た目に引きずられず、数え上げに翻訳するのが急所だ。

発展 — 一歩先へ。 この方程式は最高次の係数が1(モニック)だから、有理数の解は自動的に整数になる(有理数解 $\frac{p}{q}$ の分母 $q$ は最高次係数の約数)。つまり本問の答えは「有理数解をもつ確率」でもある。問い方を変えても同じ38組、という一段深い読みができる。

別解

因数分解の形から組み立てる(得意な人向け)。 整数解 $-r$($r\ge 1$)をもつことは、整数係数で

$$x^3+a{x}^2+bx+c=(x+r)(x^2+px+q)$$

と割れることと同じ($p,q$ は整数)。展開して係数を比べると

$$a=p+r,b=q+pr,c=qr$$

つまり「$(a,b,c)$ を数える」は「条件 $1\le a,b,c\le 6$ を満たす $(p,q)$ を数える」に置き換わる。

たとえば $r=1$ なら、$a=p+1\in [1,6]$、$c=q\in [1,6]$、$b=p+q\in [1,6]$。つまり $p\ge 0,q\ge 1,p+q\le 6$ の格子点で、$6+5+4+3+2+1=21$ 組。21が三角形の形(三角数)で見える。

$r=2$ なら $c=2q\in [1,6]$ で $q\in \{1,2,3\}$、$a=p+2$、$b=2p+q$ の範囲条件から9組。以下同様に $4,2,2,1$ 組と数えられ、本解と同じ内訳になる。

代入の等式で数える(本解)か、因数の構造で数える(本ルート)か。同じ21でも「なぜ21か(三角数)」の説明力は、構造側が一枚上だ。