初めて成功するまでの回数の期待値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $X$ は無限に続きうる。有限の表は作れない。

代わりに、$P(X=k)$ が等比の形になることを利用して、無限級数の和をとる。

「構造が毎回同じなら等比になり、級数の和はずらして引く」。この道具立てを最初に予告してから計算に入るのが設計だ。

1が出る確率は $p=\frac{1}{6}$。$k$ 回目に初めて1が出るのは『最初の $k-1$ 回は1以外(確率 $\frac{5}{6}$)、$k$ 回目に1』なので

$$P(X=k)={\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}\cdot \frac{1}{6}$$

期待値は

$$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }k{\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}\frac{1}{6}$$

この無限級数を求める。$r=\frac{5}{6}$ とおくと

$$E=\frac{1}{6}\left(1+2r+3r^2+4r^3+\cdots \right)\left(r=\frac{5}{6}\right)$$

$1+2r+3r^2+\cdots =\frac{1}{(1-r{)}^2}$ という公式(または $E-rE$ のずらし算)を使うと

$$E=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{(1-\frac{5}{6}{)}^2}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{{\left(\frac{1}{6}\right)}^2}=\frac{1}{6}\cdot 36=6(\text{回})$$

まとめ:結局、幾何分布の期待値は $\frac{1}{p}=\frac{1}{1/6}=6$ 回だ。『確率 $\frac{1}{6}$ のことは、平均6回に1度起こる』という感覚どおりの結果。初めて成功するまでの回数の期待値は成功確率の逆数、と覚えておくと速い。

発展 — 一歩先へ。 幾何分布の期待値は $\frac{1}{p}$ だが、ばらつきは意外に大きい。分散は $\frac{1-p}{p^2}$ で、$p=\frac{1}{6}$ なら $\frac{5/6}{1/36}=30$、標準偏差は $\sqrt{30}\approx 5.5$ になる。

平均が $6$ 回なのに、標準偏差が約 $5.5$ 回もある。「平均 $6$ 回で出る」といっても、$1$ 回目で出ることも、$20$ 回投げて出ないこともざらだ、というくらい待ち時間は不確実だ。

期待値だけでなく分散まで見ると、「$\frac{1}{6}$ の出来事は平均 $6$ 回に一度」という言い方が、どれくらいの幅を持つのかまで分かる。

別解

別解 — 「$k$ 回以上かかる確率」を足す(得意な人向けの高い視点)。 値が $0$ 以上の整数である回数の期待値には、次の公式がある。

$$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }P(X\ge k).$$

「$X\ge k$」は「最初の $k-1$ 回がすべて $1$ 以外」ということだから

$$P(X\ge k)={\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}.$$

これを足すと、ただの等比級数になる。

$$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}=\frac{1}{1-\frac{5}{6}}=6(\text{回}).$$

$\sum k{r}^{k-1}$ という等差 $\times$ 等比の和(本解)を、$\sum P(X\ge k)$ に置き換えると、公比 $\frac{5}{6}$ のふつうの等比級数だけで済む。本解と同じ答えになる。