2個のサイコロの目の和の期待値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 期待値の基本は(値)×(確率)の総和だ。でも「和」の期待値には、強力な近道がある。

「和の期待値は、期待値の和」。大小のサイコロを別々に見て、それぞれの目の期待値 $\frac{7}{2}$ を足せば $7$ で終わる。

和が2から12になる確率を11個求めて足しても、もちろん同じ答えになる。近道と正面ルート、両方の存在を知っておくことが大事だ。

やり方1(期待値の和を使う)

サイコロ1個の目の期待値は

$$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$$

『和の期待値は期待値の和』という性質から、2個の目の和の期待値は

$$\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7$$

やり方2(定義どおり)

和 $k$($k=2,3,\dots ,12$)になる確率を全部求めて $\sum k\cdot P(k)$ を計算しても、同じ7になる。たとえば和7がいちばん出やすく($\frac{6}{36}$)、分布が7を中心に左右対称なので、期待値がちょうど真ん中の7になるのは自然だ。

まとめ:まじめに11通りの和で計算するより、『期待値の和 = 和の期待値』を使うほうがずっと速い。この性質は、独立でなくても成り立つ強い武器だ。

発展 — 一歩先へ。 「和の期待値=期待値の和」は、サイコロが10個に増えても一瞬で $35$ と答えられる、確率でいちばん強い道具の1つだ。数学Bでは $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ として定理になる。

しかも、この性質は2つの試行が独立でなくても成り立つ。くじ引きのように互いに影響し合う場面でも和は分解できる。この「無条件で使える」強さが、応用問題での威力の源である。

別解

第3の見方として、「分布の対称性」からも答えが出る。

和の確率分布を並べると、$2$ と $12$、$3$ と $11$、$4$ と $10$、…の確率がすべて等しい。分布全体が $7$ を中心に左右対称なのだ($(a,b)$ と $(7-a,7-b)$ を対応させると、和 $s$ の出方と和 $14-s$ の出方が1対1に対応する)。

左右対称な分布の期待値は、対称の中心そのもの。だから計算せずに $7$ と分かる。

「対称の中心=平均」という見方は、データの分析で学んだ平均の感覚と同じものだ。分布の形から答えを先に見抜き、計算は検算に回す、という使い方ができる。