くじ引きの公平性の証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1$ 人ずつ乗法定理で追うと、$k$ 番目では「$k-1$ 人が引いた後」の場合分けが爆発する。もっと賢い見方が要る。

急所は、くじ引きの結果全体を「$n$ 本のくじを $1$ 列に並べる並べ方」と同一視すること。$k$ 番目の人が引くのは、並びの $k$ 番目のくじだ。

どの並べ方も同様に確からしい($n!$ 通り)。$k$ 番目の位置に当たりが来る並べ方は、当たり $a$ 本のどれかを $k$ 番目に置き($a$ 通り)、残り $n-1$ 本を並べる($(n-1)!$ 通り)。確率は $\frac{a(n-1)!}{n!}=\frac{a}{n}$ で $k$ によらない。

① くじ引きを並べ方と同一視する。 $n$ 本のくじをすべて区別して考える。$n$ 人が順に引いた結果は、「$1$ 番目が引いたくじ、$2$ 番目が引いたくじ、…」という $n$ 本の並びそのものだから、起こり得る結果の全体は $n$ 本の順列 $n!$ 通りであり、無作為に引くのだからこれらはすべて同様に確からしい。

② $k$ 番目が当たりになる並べ方を数える。 $k$ 番目の位置に置く当たりくじの選び方が $a$ 通り。残る $n-1$ か所には残る $n-1$ 本を自由に並べてよいから $(n-1)!$ 通り。よって

$$a\times (n-1)!\text{通り}$$

③ 確率を計算する。

$$P(k\text{ 番目が当たり})=\frac{a(n-1)!}{n!}=\frac{a}{n}$$

これは $k$ を含まない式であり、$k$ によらず一定である。(証明終)

まとめ:「くじ引きは順番によらず公平」の背景は、結果全体が順列として対称にできていること — $k$ 番目の位置だけ特別扱いする理由が構造のどこにもない、と言い換えてもよい。個別の $k$ で乗法定理の計算(たとえば $2$ 番目なら $\frac{a}{n}\cdot \frac{a-1}{n-1}+\frac{n-a}{n}\cdot \frac{a}{n-1}=\frac{a}{n}$)を検算に使うと、この一般論のありがたみがよく分かる。

発展 — 一歩先へ。 くじ引きが順番によらず公平なのは「対称性」の帰結。どのくじも、どの位置に来る確率が等しい。この“交換可能性”は、標本抽出やトランプの配りなど、多くの確率モデルの土台。「$1$ 番目に引くのが有利/不利」という直感が誤りであることを、対称性が保証している。

別解

別解 — 特定の $1$ 本のくじに注目する(対称性のルート)。 当たりくじのうち特定の $1$ 本に印をつけて追う。この印つきくじが「$k$ 番目に引かれる」確率を考える。

$n$ 本のくじが $n$ 個の位置に等確率で並ぶなら、印つきくじがどの位置に来るかも等確率。だから印つきくじが $k$ 番目に来る確率は、どの $k$ でも $\frac{1}{n}$。

当たりは $a$ 本ある。$k$ 番目が当たり $⟺$ $a$ 本のうちどれかが $k$ 番目に来る。$a$ 本の位置は互いに排反(同じ位置に $2$ 本は来ない)だから、確率を足して

$$P(k\text{ 番目が当たり})=a\times \frac{1}{n}=\frac{a}{n}.$$

並べ方を数える(本解)のと同じ $\frac{a}{n}$ だが、「$1$ 本のくじはどの位置にも等確率」という対称性から、$k$ によらないことが直感的に分かる。くじ引きは引く順番によらず公平、という有名な事実の本質は、この“位置の対称性”にある。