2個のサイコロの確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 確率の第一歩は、「同じくらい起こりそうなもの」で全体を数えることだ。

大小 $2$ 個のサイコロなら、$(\text{大},\text{小})$ の組が $6\times 6=36$ 通り。この $36$ 通りはどれも同じ確率で起こる。

ここで「大小を区別しない」と $21$ 通りになるが、それはまずい。$(1,2)$ と $(2,2)$ では起こりやすさが違う(前者は大小の入れかわりで $2$ 通りぶんある)からだ。確率では、区別できるものは全部区別して数える。

(1)は和が $7$ になる組を数えるだけ。

(2)の「積が偶数」は数えにくい。反対の「積が奇数($=$ 両方とも奇数)」のほうが数えやすい — こういうときは余事象を使う。

大小を区別すると、目の出方は $6\times 6=36$ 通り。これらは同じくらい起こる。

(1) 和が7になるのは $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ の6通り(図のななめ一列のマス)。

$$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

(2) 積が偶数になる場合を直接数えると多い。そこで反対の『積が奇数』を考える。積が奇数になるのは、2個とも奇数の目($1,3,5$)のときで、$3\times 3=9$ 通り。だから

$$1-\frac{9}{36}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

まとめ:『積が偶数』は『少なくとも一方が偶数』と同じこと。「少なくとも」が出てきたら、反対を数えて1から引く、と考えるとうまくいくことが多い。正面から「偶数×奇数、奇数×偶数、偶数×偶数」と分けても $27$ 通りで同じ答えになるが、反対を数えるほうが手間が少ない。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 個のサイコロの和の分布を、表から読み取ってみよう。斜めの線の長さを数えるだけだ。

合計は $36$ ✓。$7$ を頂点とする、きれいな山型になる。$1$ 個のサイコロなら $6$ つの目が平らに並ぶのに、$2$ 個足しただけで山ができるのだ。

サイコロを $3$ 個、$4$ 個 $\dots$ と増やすと、この山はどんどんなめらかな釣鐘型に近づいていく。これが中心極限定理という、統計学で最も重要な定理の姿である(数Bの正規分布につながる)。

「たくさん足すと、釣鐘型になる」 — 身長の分布も、測定誤差も、テストの点も釣鐘型になりやすいのは、たくさんの小さな要因が足し合わさっているからだ。$2$ 個のサイコロの三角形の山は、その最初の一歩なのである。

別解

$2$ 個のサイコロの問題は、$6\times 6$ の表(マス目)を描くと、ほぼすべてが目で見て解ける。表を $1$ 枚描く手間を惜しまないこと。

縦に大サイコロの目($1$〜$6$)、横に小サイコロの目($1$〜$6$)をとる。 $36$ 個のマスができ、マス $1$ つが $1$ 通り。どのマスも確率 $\frac{1}{36}$ で、面積の割合がそのまま確率になる。

(1) 和が $7$ のマスは、$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$。表の上では右上がりの対角線にきれいに並ぶ。

$$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

同じ和のマスが斜めの線に並ぶのがこの表の見どころだ。和 $2$ は $1$ マス($1$ 通り)、和 $7$ は $6$ マス、和 $12$ は $1$ マス。和 $7$ がいちばん長い対角線 — だから $2$ 個のサイコロでは $7$ が最も出やすい。すごろくの盤面設計にも効いてくる事実である。

(2) 積が偶数のマスを直接数えるのは大変だ。そこで反対を見る。

積が奇数になるのは、大も小も奇数($1,3,5$)のときだけ。表の上では、奇数の行と奇数の列が交わる部分 — $3\times 3=9$ マスの小さな正方形がぽつんと浮かんで見える。

$$P(\text{積が奇数})=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$

残りが全部「積が偶数」だから

$$P(\text{積が偶数})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

「奇数 $\times$ 奇数 $=$ 奇数」以外は全部偶数 — この一点に気づけば、$27$ 個のマスを数える必要はない。

なぜ直接数えると危ないのか。 「大が偶数」($18$ マス)と「小が偶数」($18$ マス)を足して $36$ とやると、両方偶数の $9$ マスを二重に数えてしまう。正しくは $18+18-9=27$。「または」を足すときは重なりに注意 — 個数定理と同じ罠が、確率でも待っている。

大小を区別しない $21$ 通りで計算するとどうなるか。 和が $7$ になるのは $\{1,6\},\{2,5\},\{3,4\}$ の $3$ 通りだから $\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$ — 正しい $\frac{1}{6}$ と違ってしまう。$21$ 通りの中に、起こりやすさが $2$ 倍のもの($\{1,2\}$ 型)と等倍のもの($\{2,2\}$ 型)が混ざっているからだ。確率の分母は、必ず「同じ確率で起こるもの」で揃える。