数学A / 確率

原点に戻る経路(負にならない条件つき)

★★★★ 難関反復試行経路の数え上げ

問題

数直線上の原点に点 P がある。硬貨を投げて、表なら $+ 1$ 、裏なら $- 1$ だけ P を動かす。硬貨を $6$ 回投げるとき、「P が $6$ 回後に原点に戻り、かつ途中で一度も負の位置に来ない」確率を求めよ。

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$6$ 回で原点に戻る道のうち、途中で負に沈まないものを数える。表裏の列を折れ線にして、条件を満たす道の特徴をつかめ(数え上げは工夫した列挙でも届く)。

解答・解説

方針

全体は $2^{6} = 64$ 通りで等確率。原点に戻るには表 $3$ 回・裏 $3$ 回(その並べ方 $(3 6) = 20$ 通り)。このうち「累積がつねに $0$ 以上」を満たす並びを数える。折れ線グラフで見ると構造がつかみやすく、 $20$ 通りからの絞り込みは系統的な列挙で届く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 全体は $2^{6} = 64$ 通りで等確率。まず「 $6$ 回後に原点」の条件を押さえる。表 $3$ 回・裏 $3$ 回が必要で、その並べ方は $(3 6) = 20$ 通り。

問題は、この $20$ 通りのうち「途中で一度も負にならない」ものを数えること。

累積和(位置)を折れ線グラフで見ると構造がつかめる。 $+ 1, - 1$ の並びで、途中の部分和がつねに $0$ 以上。これはカタラン数で数えられる典型で、系統的に列挙すれば $5$ 通りと分かる。

① 分母と候補を整理する。 $6$ 回の表裏の列は $2^{6} = 64$ 通りで、どれも等確率。 $6$ 回後に原点に戻るのは表 $3$ 回・裏 $3$ 回のときで、並べ方は $(3 6) = 20$ 通り。この中から「途中の累積がつねに $0$ 以上」のものを数える。

条件を満たす道の一例(+ + − + − −)。位置はつねに 0 以上のまま、6 回後に原点へ戻る

② 条件を満たす列を系統的に列挙する。 表を「+」、裏を「−」と書く。負にならないためには、 $1$ 回目は必ず + で、どの時点でも(+ の数) $≧$ (− の数)が必要。最初の + のあと、残り $5$ 手で + $2$ 個・− $3$ 個を「途中で高さが $- 1$ に触れない」ように並べる。高さの推移で分類すると

++ から始まる:++−+−−、++−−+−、++−−−は高さ $- 1$ になるので不可。+++−−− と ++−+−− と ++−−+− の $3$ 通り
+− から始まる(高さ $0$ に戻る):残り $4$ 手が「 $4$ 回で原点・非負」の道で、+−+− と ++−− の $2$ 通り → +−++−−、+−+−+− の $2$ 通り

合計 $3 + 2 = 5$ 通り。

③ 確率を求める。

$P = \frac{5}{64}$

まとめ:「戻る」条件は枚数の勘定( $(3 6)$ )、「沈まない」条件は経路の形の勘定 — 性質の違う $2$ つの条件を分けて処理する。この $5$ という個数は、 $2 n$ 歩で非負のまま原点に戻る道の数( $1, 2, 5, 14, \dots$ と続く有名な数列)の $n = 3$ の項になっている。

発展 — 一歩先へ。 「途中で負にならない $\pm 1$ の道」の数はカタラン数 $C_{n} = \frac{1}{n + 1} (n 2 n)$ 。括弧の正しい対応、木の形、多角形の三角形分割など、まったく違う見た目の数え上げが同じカタラン数になる。反射原理( $- 1$ に触れた道を反転して数える)は、これらを統一的に数える強力な発想だ。

答

$\frac{5}{64}$

別解

別解 — 反射原理でカタラン数として一撃(得意な人向けの高い視点)。 「表 $3$ ・裏 $3$ の並びで、途中の部分和がつねに $0$ 以上」の個数は、カタラン数 $C_{3}$ で数えられる。

全体は $(3 6) = 20$ 通り。このうち「途中で負になる(位置 $- 1$ に触れる)」ものを、反射原理で数える。 $- 1$ に初めて触れた後を上下反転させると、「表 $2$ ・裏 $4$ 」の並び( $(2 6) = 15$ 通り)と $1$ 対 $1$ に対応する。

だから条件を満たすのは $20 - 15 = 5$ 通り。

$C_{3} = (3 6) - (2 6) = 20 - 15 = 5 = \frac{1}{3 + 1} (3 6) .$

確率は $\frac{5}{64}$ 。系統的に列挙する本解に対し、反射原理は「悪い並び( $- 1$ に触れる)を、ずらした二項係数で数える」鮮やかな方法。 $n$ 往復なら $\frac{1}{n + 1} (n 2 n)$ (カタラン数)で、括弧の対応や山の登り下りなど、多くの数え上げに現れる。

ポイント

分母は $2^{6} = 64$ (等確率)。戻る条件で $20$ 通りに、非負条件で $5$ 通りに絞る。
列挙は「最初の $2$ 手」で分類すると漏れなく数えられる。

よくある間違い

原点復帰の条件(表 $3$ ・裏 $3$ )だけで $(3 6) = 20$ を答えにし、「途中で負にならない」を課さない。
「負にならない」を「 $0$ を通らない」と取り違える( $0$ 以上=負にならない、 $0$ は通ってよい)。
カタラン数 $C_{3} = \frac{1}{4} (3 6) = 5$ の分母 $4$ ( $= n + 1$ )を誤る。