数学A / 確率

反復試行の確率(サイコロ)

★ 基礎反復試行

問題

1個のサイコロを4回投げる。1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

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同じ試行のくり返しで『ちょうど2回成功』。カギは『4回のうちどの2回で出るか』の選び方 × 出る確率 × 出ない確率。どの回で成功するかの組合せを忘れずに。

解答・解説

方針

同じことを何回か繰り返して『ちょうど◯回成功』を求めるのが、反復試行だ。

公式は $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ 。この $_{n} C_{r}$ は「どの回に成功が来るか」の選び方で、これをかけ忘れるのが最も多いミスだ。

1の目を『成功』( $p = \frac{1}{6}$ )とみて、4回中2回成功する確率を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 同じことを何回も繰り返し、「そのうち何回成功するか」を問う — これが反復試行だ。

$1$ の目が出る( $=$ 成功)確率は $\frac{1}{6}$ 、出ない( $=$ 失敗)確率は $\frac{5}{6}$ 。 $4$ 回のうち、成功が $2$ 回・失敗が $2$ 回になればよい。

必要なのは $2$ つの部品だ。

部品1: $1$ つの並びの確率。 たとえば「成功・成功・失敗・失敗」なら $(\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$ 。どんな順番でも、掛ける中身は同じなので、確率はすべて等しい。

部品2: 並びが何通りあるか。 $4$ 回のうちどの $2$ 回が成功か — $_{4} C_{2} = 6$ 通り。

$P =_{4} C_{2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$

$_{4} C_{2}$ を掛け忘れるのが最頻ミス。 「どの回に成功するか」の選び方を、必ず数えること。

公式反復試行:

n

回中ちょうど

k

回成功する確率

_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

1の目が出ることを『成功』とすると、1回の成功確率は $p = \frac{1}{6}$ 、失敗(1以外)は $\frac{5}{6}$ 。4回中ちょうど2回成功する確率は

$_{4} C_{2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$

で求まる。 $_{4} C_{2} = 6$ は「4回のうちどの2回で1が出るか」の選び方だ。計算すると

$6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{6 \times 25}{1296} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

まとめ: $_{4} C_{2}$ をかけるのは、たとえば「1回目と2回目に1が出る」場合と「1回目と3回目に出る」場合が、別々の起こり方だからだ。この数をかけ忘れて $(\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$ だけにすると、1つの並び順しか数えていないことになる。

発展 — 一歩先へ。 反復試行の公式

$P (k 回成功) =_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$

が成り立つには、 $2$ つの条件が要る。

毎回の確率 $p$ が変わらない(サイコロは何回振っても $\frac{1}{6}$ )
各回が独立( $1$ 回目の結果が $2$ 回目に影響しない)

この条件を外れると、公式は使えない。 たとえば「袋から玉を取り出し、戻さずに続ける」場合、 $1$ 回目の結果で $2$ 回目の確率が変わってしまう(超幾何分布になる)。

現実の問題で「反復試行の公式を使ってよいか」を判断するには、この $2$ 条件を毎回チェックするしかない。品質検査、アンケート、医療の治験 — どれも「独立で、確率一定」という仮定の上に成り立っている。

公式を覚えることより、公式が使える条件を覚えることのほうが、ずっと大事だ。 数学の力は、正しく使ったときにだけ働く。

答

$\frac{25}{216}$

別解

「 $1$ の目がちょうど $k$ 回」を、 $k = 0$ から $4$ まで全部計算して表にする。 これで公式の意味も、検算も、分布の形も、いっぺんに手に入る。

すべて分母を $6^{4} = 1296$ に揃えて、分子だけを見る。

$1$ が出た回数 $k$	並びの数 $_{4} C_{k}$	$1^{k} \times 5^{4 - k}$	分子
$0$ 回	$1$	$625$	$625$
$1$ 回	$4$	$125$	$500$
$2$ 回	$6$	$25$	$150$
$3$ 回	$4$	$5$	$20$
$4$ 回	$1$	$1$	$1$

まず検算。分子を全部足すと

$625 + 500 + 150 + 20 + 1 = 1296 = 6^{4}$

ぴったり全事象に一致した ✓。 $4$ 回投げれば $1$ の目は $0$ 〜 $4$ 回のどれかなのだから、全部足せば $1$ になるのが当然だ。この検算が通れば、各行の計算はまず正しい。

求める答えは $k = 2$ の行。

$\frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

表から読み取れること。

$1$ が「 $0$ 回」がいちばん確率が高い( $\frac{625}{1296} \approx 0.48$ )。 $4$ 回投げても、半分近くは $1$ が $1$ 度も出ない。 $2$ 回出るのは $\frac{25}{216} \approx 0.12$ — $8$ 回に $1$ 回程度である。「 $6$ 分の $1$ の目が、 $4$ 回中 $2$ 回も出る」のはそれなりに珍しい、と数字が教えてくれる。

そして、この表の正体を明かそう。 分子の作り方をよく見ると

$5^{4} + 4 \cdot 5^{3} + 6 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 + 1 = (5 + 1)^{4} = 6^{4}$

これは二項定理そのものである。一般に

$(\frac{5}{6} + \frac{1}{6})^{4} = k = 0 \sum 4_{4} C_{k} (\frac{1}{6})^{k} (\frac{5}{6})^{4 - k} = 1^{4} = 1$

反復試行の確率は、 $(失敗 + 成功)^{n}$ を展開した各項なのだ。 $_{n} C_{k}$ が出てくる理由も、これで腑に落ちる — 展開したときの係数が、まさに「どの回に成功するか」の選び方の数だからである。

この分布を二項分布という。数Bの「統計的な推測」で主役になり、正規分布(釣鐘型)へとつながっていく。サイコロを $4$ 回投げる素朴な問題の中に、統計学の背骨が入っている。

ポイント

反復試行 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$
$_{n} C_{r}$ は「どの回に成功するか」の選び方(かけ忘れ注意)
成功 $p$ と失敗 $1 - p$ を、それぞれ回数分だけ累乗する

よくある間違い

$_{4} C_{2}$ をかけ忘れ、 $(\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$ だけにしてしまう
失敗の確率を $\frac{1}{6}$ のままにする(1以外は $\frac{5}{6}$ )
指数を取り違える(成功2回・失敗2回なので、どちらも2乗。回数の合計が4になるか確認する)