じゃんけんが決着するまで

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず $1$ 回の決着確率 $\frac{2}{3}$ を、土台として確定させる。

すると「ちょうど $k$ 回目で決着」は「あいこが $k-1$ 回続いて、決着」というかけ算になる。

(2)の期待値は無限級数になる。「各回の構造が同じなら、確率は等比の形になる」。この見通しが発想の軸だ。

2人の手の出し方は $3\times 3=9$ 通り。同じ手(あいこ)は(グー・グー)など3通り、残り6通りで勝負がつく。だから1回で

$$P(\text{決着})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},P(\text{あいこ})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

(1) ちょうど2回目で決着するのは『1回目はあいこ、2回目で決着』。各回は別々に起こるので

$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$$

(2) 決着までの回数を $N$ とすると、$N=n$ となるのは『$n-1$ 回続けてあいこ、$n$ 回目で決着』で

$$P(N=n)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\cdot \frac{2}{3}$$

これは成功(決着)の確率 $p=\frac{2}{3}$ の幾何分布だ。幾何分布の期待値は、成功確率の逆数になる。

$$E(N)=\frac{1}{p}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}(\text{回})$$

念のため級数で確かめる。$E={\sum }_{n=1}^{\infty }n{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\frac{2}{3}$ で、公式 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{r}^{n-1}=\frac{1}{(1-r{)}^2}$($r=\frac{1}{3}$)を使うと

$$E=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{3}{2}$$

まとめ:と合う。『平均1.5回で決着がつく』という結果で、決着の確率 $\frac{2}{3}$ が高いぶん少ない回数で済む、という感覚とも合う。

発展 — 一歩先へ。 成功確率 $p$ の試行を成功まで繰り返すとき、回数の期待値はいつも $\frac{1}{p}$ になる(ここでは $p=\frac{2}{3}$ で $\frac{3}{2}$)。

この分布(幾何分布)には「無記憶性」がある。すでに $k$ 回あいこが続いていても、そこから決着までの期待回数は最初と変わらず $\frac{1}{p}$ だ。過去のあいこは、この先の見通しを何も変えない。

無記憶性をもつ離散分布は幾何分布だけで、その連続版が指数分布だ。電球の寿命や窓口の待ち時間など、「いつ起こるか」を扱うモデルの出発点になっている。

別解

別解 — やり直しの構造をそのまま式にする(得意な人向けの再帰の視点)。 (2)の期待値 $E$ を、$1$ 回投げた後の場合分けで立てる。

まず必ず $1$ 回は投げる。そのあと確率 $\frac{2}{3}$ で決着し(追加 $0$ 回)、確率 $\frac{1}{3}$ であいこになる。

あいこのとき、状況は最初とまったく同じに戻る。だからそこから先の期待回数は、また $E$ だ。式にすると

$$E=1+\frac{1}{3}E.$$

これを解くと $\frac{2}{3}E=1$、すなわち $E=\frac{3}{2}$。

無限級数を計算しなくても、「あいこなら振り出しに戻る」という自己相似の構造だけで $E$ が決まる。本解と同じ答えになる。