3人じゃんけんが ちょうど n 回目で決まる確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 状態は「$3$ 人のまま」「$2$ 人に減った」の $2$ つだけ。$1$ 回のじゃんけんでの推移を押さえる。

$3$ 人からは、$1$ 人勝ち($\frac{1}{3}$、即決着)、$2$ 人勝ち($\frac{1}{3}$、$2$ 人へ)、あいこ($\frac{1}{3}$、$3$ 人のまま)。$2$ 人からは、決着($\frac{2}{3}$)、あいこ($\frac{1}{3}$、$2$ 人のまま)。

ちょうど $n$ 回で決まる経路を分類する。「$3$ 人のまま $i$ 回 → $2$ 人へ → $2$ 人のまま $j$ 回 → 決着」と「$3$ 人のまま $n-1$ 回 → $n$ 回目に一気に $1$ 人勝ち」。それぞれの確率を足すと $p_n=\frac{2n-1}{3^n}$。

① 1回のじゃんけんの確率を整理する。 $3$ 人の手の出し方は $3^3=27$ 通り。勝者がちょうど $1$ 人(誰が・どの手で勝つか $3\times 3=9$ 通り)、勝者が $2$ 人($9$ 通り)、あいこ(残り $9$ 通り)だから、$3$ 人からの推移はそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$。また $2$ 人のじゃんけんは $9$ 通り中あいこ $3$ 通りなので、決着 $\frac{2}{3}$・あいこ $\frac{1}{3}$。

② ちょうど $n$ 回で決まる経路を分類する。

経路 I(一気に決まる):$3$ 人のあいこが $n-1$ 回続き、$n$ 回目に $1$ 人勝ち。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\cdot \frac{1}{3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$

経路 II($2$ 人を経由):$3$ 人のあいこ $i$ 回 → $2$ 人に減る($\frac{1}{3}$)→ $2$ 人のあいこ $j$ 回 → $n$ 回目に決着($\frac{2}{3}$)。回数の合計から $i+j=n-2$($i,j\geqq 0$)で、$(i,j)$ の組は $n-1$ 通り。どの組でも確率は

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^i\cdot \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^j\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3^n}$$

③ 合計する。

$$p_n=\frac{1}{3^n}+(n-1)\cdot \frac{2}{3^n}=\frac{2n-1}{3^n}$$

($n=1$:$\frac{1}{3}$、$n=2$:$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ — 直接数えた値と一致し、検算になる。)

まとめ:回数つきの複合試行は「状態がどう推移したか」の列で場合分けするのが軸。途中のあいこの置き場所($i$ と $j$ の分配)が $n-1$ 通りある、という数え上げがこの問題の心臓部で、確率そのものはどの経路でも同じ値になるのが美しい。

発展 — 一歩先へ。 $\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{3^n}=1$(必ずいつか決着する)。この和は $\sum \frac{n}{3^n}$ と $\sum \frac{1}{3^n}$ に分けて計算できる(等差 $\times$ 等比の和)。決着までの回数の期待値 $\sum n{p}_n$ も同じ手法で求まり、状態遷移をもつ確率過程(マルコフ連鎖)の典型例になっている。

別解

別解 — 状態ごとの母関数(確率の等比的な積み上げ)で(得意な人向けの視点)。 ちょうど $n$ 回で決着する経路を、$2$ 種類に整理して直接足す。

【経路1】$3$ 人のまま $i$ 回あいこ → $(i+1)$ 回目に $2$ 人へ → $2$ 人のまま $j$ 回あいこ → 決着。回数は $i+1+j+1=n$、すなわち $i+j=n-2$。確率は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^i\cdot \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^j\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3^n}$。組 $(i,j)$ は $i+j=n-2$、$i,j\ge 0$ で $n-1$ 通り。合計 $\frac{2(n-1)}{3^n}$。

【経路2】$3$ 人のまま $n-1$ 回あいこ → $n$ 回目に $1$ 人勝ちで一気に決着。確率 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3^n}$。

足すと

$$p_n=\frac{2(n-1)}{3^n}+\frac{1}{3^n}=\frac{2n-1}{3^n}.$$

状態遷移(本解)を経路に開いて数えると、各経路の確率がすべて $\frac{1}{3^n}$ の定数倍になり、経路の“本数” $2n-1$ を数えるだけになる。$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{3^n}=1$(必ずいつか決着する)も確かめられる。