出た目の積が4の倍数になる確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積が4の倍数かどうかは、目の値そのものではなく、素因数2が全部で何個集まるかだけで決まる。そこで各回の目を「2で割れる回数」で翻訳する。0回(1,3,5)、1回(2,6)、2回(4)の3タイプだ。

「合計2個以上」を直接数えるのは大変だから、余事象へ回る。合計が0個(全部奇数)か、ちょうど1個(2か6が1回だけで残りは奇数)か。排反な2つの場合で尽くせる。

① 目を3タイプに分類する。 1回投げたとき、奇数 $\{1,3,5\}$ は確率 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。2で1回だけ割れる $\{2,6\}$ は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。2で2回割れる $\{4\}$ は $\frac{1}{6}$。積が4の倍数にならないのは、素因数2の合計が0個または1個のときだ。

② 合計0個(積が奇数)。 $n$ 回すべて奇数だから

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$

③ 合計ちょうど1個。 どこか1回だけ $\{2,6\}$ が出て、残り $n-1$ 回はすべて奇数(4が1回でも出たら、その時点で2個になるので不可)。場所の選び方が $n$ 通りだから

$$n\cdot \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{2n}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$

④ 余事象で仕上げる。 2つの場合は排反だから

$$P=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-\frac{2n}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1-\frac{2n+3}{3}\cdot \frac{1}{2^n}=1-\frac{2n+3}{3\cdot 2^n}$$

確かめ: $n=1$ なら $1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$(4の目が出るときだけ)で正しい。$n=2$ なら $1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$。

まとめ: 「4の倍数」を素因数2の個数に翻訳し、目を割れる回数でタイプ分けする。余事象は「0個」「ちょうど1個」の排反2場合で尽くせて、それぞれ反復試行の形になる。

発展 — 一歩先へ。 $n$ を大きくすると、補集合 $\frac{2n+3}{3\cdot 2^n}$ は指数の勢いで0へ向かう。つまり $P\to 1$。「回数を重ねれば、積はそのうちほぼ確実に4の倍数になる」という直感が、式の形でそのまま見える。

別解

個数で数える(確率の掛け算が不安な人へ)。 確率の積の代わりに、目の列そのものを数えてもよい。全体は $6^n$ 通り。

積が4の倍数にならない列を数える。

• 全部奇数: 各回3通りだから $3^n$ 通り
• 2か6がちょうど1回、残り奇数: 場所が $n$ 通り、その回の目が2通り、残りが $3^{n-1}$ 通りで $2n\cdot 3^{n-1}$ 通り

合わせて $3^{n-1}(3+2n)$ 通り。よって

$$P=1-\frac{3^{n-1}(2n+3)}{6^n}=1-\frac{2n+3}{3\cdot 2^n}$$

($6^n=3^n\cdot 2^n$ で約分した。)本解と同じ答えだ。

確率の掛け算($\frac{1}{2}$ を $n$ 乗する等)と、場合の数の掛け算(3通りを $n$ 乗する)は同じことの2つの顔。どちらの言葉が手になじむかで選べばよい。