期待値の計算(賞金)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 期待値とは「$1$ 回引いたら、平均いくらもらえるか」だ。

大事なのは、もらえる金額に、その確率という"重み"をつけて足すこと。$300$ 円は魅力的だが、当たるのは $10$ 本に $1$ 本しかない。だから $300$ 円をまるごと勘定に入れてはいけない。

$$(\text{期待値})=(\text{金額})\times (\text{その確率})\text{をすべて足す}$$

$$E=300\times \frac{1}{10}+100\times \frac{3}{10}+0\times \frac{6}{10}$$

はずれの $6$ 本も、忘れずに数える。 金額が $0$ 円なので計算には効かないが、確率の合計が $1$ になるかの確認に要る($\frac{1}{10}+\frac{3}{10}+\frac{6}{10}=1$ ✓)。

期待値は、実際にもらえる金額ではない。 $60$ 円のくじなど $1$ 本もないのに、期待値は $60$ 円になる。

賞金と、その確率を整理する。

• 300円: 確率 $\frac{1}{10}$
• 100円: 確率 $\frac{3}{10}$
• 0円: 確率 $\frac{6}{10}$

期待値は (金額) × (確率) を全部足すので

$$300\times \frac{1}{10}+100\times \frac{3}{10}+0\times \frac{6}{10}=30+30+0=60(\text{円})$$

期待値60円の意味は、「このくじを1回引くと、平均して60円もらえる勘定」ということ。たとえば参加料が60円ならトントン、それより高ければ引くほど損、と判断の目安に使える。0円のはずれも確率としては数える(6本ぶんの $\frac{6}{10}$)が、金額が0なので合計には効かない。

発展 — 一歩先へ。 期待値には、驚くほど便利な性質がある。足し算と、そのまま交換できるのだ。

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

しかも、$X$ と $Y$ が独立でなくても成り立つ(これが強力なところ)。

たとえば「サイコロを $3$ 回振ったときの目の合計の期待値」は、$1$ 回の期待値 $\frac{1+2+\cdots +6}{6}=3.5$ を $3$ 倍して $10.5$。$216$ 通りを数える必要はない。

$$E(aX+b)=aE(X)+b$$

も成り立つ(この式は数Bで詳しく学ぶ)。期待値は "線形" — 難しい計算を、単純な部品の足し算に分解できる。

だが、期待値がすべてではない。 次の $2$ つのくじを比べてみよう。

• くじP: 必ず $60$ 円もらえる
• くじQ: $\frac{1}{1000}$ の確率で $60000$ 円、それ以外は $0$ 円

期待値はどちらも $60$ 円。しかし、$1$ 回だけ引くなら、まるで違うくじだ。くじQは $999$ 回に $999$ 回、何も手に入らない。

同じ期待値でも、散らばりが違う。 この散らばりを測るのが分散であり、リスクの尺度になる。投資でも保険でも、「平均リターン(期待値)」と「リスク(分散)」をセットで見る — 片方だけでは、判断を誤る。

期待値は強力だが、万能ではない。 そのことを知っているかどうかが、数学を使えるかどうかの分かれ目である。

別解

期待値の正体は「平均」である。 そのことを、確率を一切使わずに確かめてみよう。

$10$ 本すべての賞金を、そのまま書き出す。

$$300,100,100,100,0,0,0,0,0,0(\text{円})$$

この $10$ 個の数の平均を求める。

$$\frac{300+100+100+100+0+0+0+0+0+0}{10}=\frac{600}{10}=60(\text{円})$$

期待値と、ぴったり同じ $60$ 円 ✓。

なぜ一致するのか。 上の平均の式を、少し変形してみる。

$$\frac{600}{10}=\frac{300\times 1+100\times 3+0\times 6}{10}=300\times \frac{1}{10}+100\times \frac{3}{10}+0\times \frac{6}{10}$$

「本数で割ってから足す」のと、「確率を掛けて足す」のは、同じ計算だったのだ。

$$\boxed{\text{期待値}=\text{起こりうる値の、確率で重みづけした平均}}$$

この見方を持つと、期待値の意味がはっきりする。 「くじを $10$ 本すべて引いたら、合計 $600$ 円もらえる。$1$ 本あたりにならせば $60$ 円」— これが期待値だ。$1$ 回引くだけなら $0$ 円か $100$ 円か $300$ 円のどれかで、$60$ 円がもらえることは絶対にない。しかし何度も繰り返せば、$1$ 回あたりの平均は $60$ 円に近づいていく(大数の法則)。

期待値の使いどころは、判断の道具としてである。

このくじが $1$ 本 $100$ 円で売られていたらどうか。期待値は $60$ 円 — $1$ 回引くごとに、平均 $40$ 円損する勘定になる。$100$ 回引けば、平均 $4000$ 円の損だ。「当たれば $300$ 円」という宣伝文句に踊らされず、期待値で冷静に損得を測る。

逆に $50$ 円で売られていたら? 期待値 $60$ 円 > 価格 $50$ 円だから、引くほど得である(そんなくじは現実にはまず存在しないが)。

宝くじ、ガチャ、保険、投資 — 世の中の「賭け」はすべて期待値で評価できる。期待値を計算する習慣は、お金と付き合ううえでの防具になる。