数学A / 確率

反復試行と条件付き確率

★★★ 応用反復試行条件付き確率

問題

1個のサイコロを3回投げる。6の目が少なくとも1回出たとき、6の目がちょうど1回だけ出た条件付き確率を求めよ。

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『少なくとも1回出た』前提で『ちょうど1回』。分子は『ちょうど1回』の確率、分母は『少なくとも1回』(= $1$ −『0回』)。反復試行の確率を分子・分母それぞれで。

解答・解説

条件『6が少なくとも1回出た』のもとで『ちょうど1回』の確率を求める。

条件付き確率なので、分母を『少なくとも1回』、分子を『ちょうど1回』にする。どちらも反復試行で計算できる。

分母『少なくとも1回』は、反対の『1回も出ない』を使うとラクだ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件付き確率の分母・分子が、どちらも反復試行で書ける複合問題だ。

分母には「少なくとも $1$ 回」を置く。これは余事象で計算する。分子には「ちょうど $1$ 回」を置く。こちらは反復試行だ。

$2$ つの既習の型を、条件付き確率という枠組みの部品として組み合わせる。その設計力が問われている。

6の目を『成功』( $p = \frac{1}{6}$ )とする。

分子(ちょうど1回): 反復試行より

$_{3} C_{1} (\frac{1}{6})^{1} (\frac{5}{6})^{2} = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216}$

分母(少なくとも1回): 反対の『1回も出ない』を使って

$1 - (\frac{5}{6})^{3} = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$

条件付き確率は、分子を分母で割って

$P (ちょうど 1 回 ∣ 少なくとも 1 回) = \frac{\frac{75}{216}}{\frac{91}{216}} = \frac{75}{91}$

まとめ:分母どうしの216が約分され、結局は場合の数の比 $\frac{75}{91}$ になる。『ちょうど1回』は『少なくとも1回』の中に含まれる(ちょうど1回なら、当然少なくとも1回)ので、分子はそのまま『ちょうど1回』でよい。

発展 — 一歩先へ。 投げる回数を $n$ に増やすと、 $6$ の出た回数は二項分布に従う。今回の条件付き確率は、その分布から「 $0$ 回」を取り除いた世界での「ちょうど $1$ 回」の割合だ。

一般には $\frac{n ( \frac{1}{6} ) ( \frac{5}{6} ) ^{n - 1}}{1 - ( \frac{5}{6} ) ^{n}}$ となる。 $n = 3$ なら $\frac{75}{91}$ だ。

$n$ が大きくなると、この値はしだいに小さくなる。回数が増えるほど「複数回出る」ほうが優勢になり、「ちょうど $1$ 回」は「少なくとも $1$ 回」の中の小さな一部になっていくからだ。

答

$\frac{75}{91}$

別解 — 分母を「ちょうど何回」に分けて数える(仕組みが見える数え方)。 分母の「少なくとも $1$ 回」を、余事象ではなく、中身に分けて足す。 $6$ が出た回数で場合分けする。

足すと $\frac{75 + 15 + 1}{216} = \frac{91}{216}$ で、余事象 $1 - (\frac{5}{6})^{3}$ と一致する。

求める条件付き確率は、分子(ちょうど $1$ 回)がこの $3$ つの先頭そのものだから

$\frac{75}{75 + 15 + 1} = \frac{75}{91} .$

「少なくとも $1$ 回」の中身が見えるので、分子がその一部だと納得できる。本解と同じ答えだ。

分母を全体(条件なし)にして、ちょうど $1$ 回の $\frac{75}{216}$ をそのまま答えにする。
分子と分母の $216$ を約分し忘れ、 $\frac{75}{216} \div \frac{91}{216}$ の計算を複雑にする。
「ちょうど $1$ 回」で反復試行の係数 $_{3} C_{1}$ を落とし、 $(\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{2}$ だけにする。