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数学III

積分法の計算 置換積分・部分積分

基本的な不定積分から、置換積分・部分積分、分数関数・三角関数の積分、定積分の計算技術までを扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 不定積分(累乗)
  2. 不定積分(1/x)
  3. 不定積分(指数関数)
  4. 不定積分(sin)
  5. 不定積分(cos)
  6. 不定積分(負の指数)
  7. 定積分(1/x)
  8. 定積分(指数関数)
  9. 定積分(sin)
  10. 不定積分(多項式)
  11. 不定積分(根号)
  12. 不定積分(1/cos²)

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 置換積分(指数)
  2. 置換積分(分数)
  3. 部分積分(x eˣ)
  4. 部分積分(x cos x)
  5. sin² の積分(半角)
  6. 定積分(1/(1+x²))
  7. 部分分数の積分
  8. 置換積分(根号)
  9. 定積分(部分積分)
  10. 定積分(sin²)
  11. log x の積分
  12. 定積分(log x)

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 部分積分(2回)
  2. 部分積分(循環型)
  3. sin³ の定積分
  4. 部分分数(x²-1)
  5. 置換積分(三角関数のべき)
  6. 定積分(x sin x)
  7. 定積分(√(1-x²))
  8. 分数関数の積分(2次分母)

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 置換積分
  2. 部分積分(対数関数)
  3. 部分分数分解の積分
  4. 半角を用いる三角関数の積分
  5. 部分積分(循環型)
  6. 対称性を使う定積分(King Property)
  7. 区分求積法
  8. 絶対値を含む定積分

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 部分積分の循環(e^x cos x)
  2. sin⁴x の定積分(半角の反復)
  3. 部分分数分解による定積分
  4. 対称性を使う定積分(1/(1+tan x))
  5. 部分積分による漸化式
  6. 三角置換による定積分(x²√(1−x²))
  7. 分子を分けて積分(対数とarctan)
  8. 部分積分((log x)² の定積分)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 原始関数が書けない定積分(区間の折り返し)
  2. 値が n によらない定積分(ディリクレ核)
  3. 1/(1+x²)^n の定積分(部分積分で漸化式)
  4. 1/(1+e^x) の対称性で折りたたむ定積分
  5. x^m(1-x)^n の積分と二項係数の交代和
  6. √(x²+1) の積分(根号を消す置換と循環型部分積分)
  7. 減衰振動の絶対値の積分(山の面積が等比数列)
  8. 三角関数の有理式(半角の置換と対称性)

積分法の計算の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問