積分法の計算 — 置換積分・部分積分

不定積分 $\int x^{3}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int \frac{1}{x}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int e^{2x}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int \sin xdx$ を求めよ。

不定積分 $\int \cos xdx$ を求めよ。

不定積分 $\int \frac{1}{x^2}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1{e}^{x}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\pi }\sin xdx$ を求めよ。

不定積分 $\int (3x^2-2x)dx$ を求めよ。

不定積分 $\int \sqrt{x}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int 2x{e}^{x^2}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int \frac{x}{x^2+1}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int x{e}^{x}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int x\cos xdx$ を求めよ。

不定積分 $\int {\sin }^{2}xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int \frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx$ を求めよ。

不定積分 $\int \log xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_1^e\log xdx$ を求めよ。

不定積分 $\int x^2{e}^{x}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int e^x\sin xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}xdx$ を求めよ。

不定積分 $\int \frac{1}{x^2-1}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x{\cos }^{3}xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ を求めよ。

不定積分 $\int \frac{2x+3}{x^2+1}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_1^e\log xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\pi }{e}^x\cos xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$ を求めよ。

定積分 ${\int }_{-1}^2|x^2-1|dx$ を求めよ。

不定積分 $\int e^x\cos xdx$ を求めよ(積分定数は $C$ とする)。

定積分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}xdx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1\frac{1}{x^2+3x+2}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+\tan x}dx$ を求めよ。

$I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$($n=0,1,2,\dots$)とする。$I_n$ の漸化式を求め、$I_2$ の値を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1{x}^2\sqrt{1-x^2}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2+1}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_1^e(\log x{)}^{2}dx$ を求めよ。

定積分

$$I={\int }_0^{\pi /4}\log (1+\tan \theta )d\theta$$

を求めよ。

$n$ を自然数とし

$$I_n={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}dx$$

とおく。

(1) $0<x\le \frac{\pi }{2}$ のとき

$$\frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}=1+2\sum _{k=1}^n\cos 2kx$$

が成り立つことを示せ。

(2) $I_n$ を求めよ。

$n$ を自然数とし

$$I_n={\int }_0^1\frac{dx}{(1+x^2{)}^n}$$

とおく。

(1) $I_1$ を求めよ。

(2) $2n{I}_{n+1}=(2n-1)I_n+\frac{1}{2^n}$ が成り立つことを示せ。

(3) $I_3$ を求めよ。

(1) すべての実数 $x$ に対して

$$\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1$$

が成り立つことを示せ。

(2) $f(x)$ を偶関数、$a$ を正の定数とするとき

$${\int }_{-a}^a\frac{f(x)}{1+e^x}dx={\int }_0^{a}f(x)dx$$

が成り立つことを示せ。

(3) ${\int }_{-1}^1\frac{x^2}{1+e^x}dx$ を求めよ。

$m,n$ を $0$ 以上の整数とし

$$B(m,n)={\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx$$

とおく。

(1) $n\ge 1$ のとき $B(m,n)=\frac{n}{m+1}B(m+1,n-1)$ が成り立つことを示せ。

(2) $B(m,n)=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$ を示せ。

(3) $\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{m+k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ を求めよ。

(1) $t=x+\sqrt{x^2+1}$ と置換して

$$J={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

を求めよ。

(2) $I={\int }_0^1\sqrt{x^2+1}dx$ を求めよ。

$n$ を自然数とし

$$S_n={\int }_0^{n\pi }{e}^{-x}\left|\sin x\right|dx$$

とおく。

(1) $A={\int }_0^{\pi }{e}^{-x}\sin xdx$ を求めよ。

(2) $k$ を自然数とするとき

$${\int }_{(k-1)\pi }^{k\pi }{e}^{-x}\left|\sin x\right|dx=e^{-(k-1)\pi }A$$

が成り立つことを示せ。

(3) $S_n$ を求め、さらに $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ を求めよ。

(1) 定積分

$$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}$$

を求めよ。

(2) 定積分

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x}dx$$

を求めよ。